概率论课后作业题目选讲.ppt

1 2 8.1 设(x,h)服从在A上的均匀分布, 其中A为x 轴、y轴及直线x+y+1=0所围成的区域. 求 (1) Ex; (2) E(-3x+2h); (3) E(xh); (4) s2(x),s(x).x y x+y+1=0 -1 -1 A 3 8.1 设(x,h)服从在A上的均匀分布, 其中A为x 轴、y轴及直线x+y+1=0所围成的区域. 求 (1) Ex; (2) E(-3x+2h); (3) E(xh); (4) s2(x),s(x). 解: (x,h)的分布密 度为 x y x+y+1=0 -1 -1 A 4 由对称性得 因此 5 6 7 7.12 设某单位有200台电话机, 每台电话机大 约有5%的时间要使用外线通话. 若每台电话 机是否使用外线是独立的, 问该单位总机至少 需要安装多少条外线, 才能以90%以上的概率 保证每台电话机需要使用外线时可供使用. 8 7.12 设某单位有200台电话机, 每台电话机大 约有5%的时间要使用外线通话. 若每台电话 机是否使用外线是独立的, 问该单位总机至少 需要安装多少条外线, 才能以90%以上的概率 保证每台电话机需要使用外线时可供使用. 解: 设x为每时刻用外线通话的电话机数, 则 xB(200,0.05), Ex=10, s2(x)=9.5, 近似有 xN(10,9.5), 假设有n根外线可满足题意的要 求, 即Pxx的情况可 由对称性获得, 三条线段能构成 三角形, 要求每 一条线段的长度 小于另两条线段 的长度, 而三条线段的长度分别为h, a-x, x-h, 因此得到三个不等式 h+(a-x)x-h, h+(x-h)a-x, (a-x)+(x-h)h. 整理这三个不等式, 得 x y a a O 22 h+(a-x)x-h, h+(x-h)a-x, (a-x)+(x-h)h. x y a a O 满足不等式的区域如下图所示: 23 由对称性, 再加进hx的情况, 则可构成三角 形的区域如下图所示: x y a a O 由图中可看出所求概率为1/4 24 8.5 证明: 当k=Ex时, E(x-k)2的值最小, 最小值 为s2(x). 25 8.5 证明: 当k=Ex时, E(x-k)2的值最小, 最小值 为s2(x). 证: 将E(x-k)2视为k的函数, 即令f(k)=E(x-k)2. 则f(k)=E(x2-2kx+k2)=E(x2)-2kE(x)+k2, 将f(k)对 k求导数并令其为0, 得 解得k=E(x), 再将f(k)对k求二阶导得 可知E(x)在f(k)处取最小值, 证毕. 26 8.12 设x,h相互独立, 分布密度分别为 求E(x,h). 27 8.12 设x,h相互独立, 分布密度分别为 求E(x,h). 解: 因x,h相互独立, E(x,h)=E(x)E(h), 而 28 因此 29 6.10 设随机变量(x,h)的分布密度函数为 (1) 求参数c; (2) 证明x与h相互独立. 30 3.8 某城市有50%住户订日报, 有65%住户订 晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 求同时订这两种报纸的住户的百分比. 31 3.8 某城市有50%住户订日报, 有65%住户订 晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 求同时订这两种报纸的住户的百分比. 解: 设A为住户订日报, B为住户订晚报,