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2006年研究生入学考试概率考题及解析（6）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 .【分析】 利用的独立性及分布计算.【详解】 由题设知，具有相同的概率密度.则.【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则（13）设为随机事件，且，则必有(A) (B) (C) (D) B 【分析】 利用事件和的运算和条件概率的概念即可.【详解】 由题设，知 ，即.又.故应选().（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(A) (B) (C) (D) D 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得，则，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，则，即.故选(A).（22）（本题满分9分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度().【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 （I）设的分布函数为，即，则1) 当时，；2) 当时， .3) 当时，.4) 当，.所以.（II） .（23）（本题满分9分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数，求的最大似然估计.【分析】 先写出似然函数，然后用最大似然估计法计算的最大似然估计.【详解】 记似然函数为，则.两边取对数得，令，解得为的最大似然估计.2006年研究生入学考试概率考题及解析（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 .【分析】 利用的独立性及分布计算.【详解】 由题设知，具有相同的概率密度.则.（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则 【分析】利用样本方差的性质即可. 【详解】因为 ， 所以 ，又因是的无偏估计量，所以 .（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(B) (B) (C) (D) A 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得，则，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，则，即.故选(A).（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度；() ；().【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 （I） 设的分布函数为，即，则5) 当时，；6) 当时， .7) 当时，.8) 当，.所以.（II） ，而 ， ，所以 .() .（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然
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