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控制系统的数学模型 在进行控制系统分析之前，首 要工作是建立控制系统的数学模型 。 在MATLAB命令行方式仿真中， 可以用3种方法建立控制系统的参数 模型： 多项式模型 零极点模型 状态空间模型 5.2.1 控制系统的参数模型 1. 多项式模型（Transfer Function，简称TF） 线性定常系统的传递函数G(s) 一般可以表示为 （ 5.13） 其中 （ 5.14） （ 5.15） 分别为分子多项式与分母多项 式。 ； ，均为常 系数。 由于用 和 可以唯一地确定一个系统，因此在 MATLAB种可以用向量 和 来表示传递函数 G(s)的多项式模型。 用于在MATLAB中描述线性定常系 统的多项式模型（TF）。 【例5.1】 系统的传递函数为 在MATLAB命令平台上键入 num=0 1 12 44 48; den=1 16 86 176 105; printsys(num,den); num/den = s3 + 12 s2 + 44 s + 48 - - s4 + 16 s3 + 86 s2 + 176 s + 105 例题说明： 函数printsys（）用于显示 传递函数G(s)的多项式模型。显示变 量num/den为通用的输出显示格式 ，与输出变量名称无关。 【例5.2】 系统的开环传递函数为 写出其多项式模型。 num=conv(20,1 1); den=conv(1 0 0,conv(1 2,1 6 10); printsys(num,den); num/den = 20 s + 20 - s5 + 8 s4 + 22 s3 + 20 s2 例题说明： 函数conv（）用于计算多 项式乘积，结果为多项式系统的降 幂排列。语句2为函数conv（）的嵌 套使用。 【例5.3】 系统的开环传递函数为 写出单位负反馈时，闭环传递函数的 多项式模型。 numo=conv(5,1 1); deno=conv(1 0 0,1 3); printsys(numo,deno); num/den = 5 s + 5 - s3 + 3 s2 numc,denc=cloop(numo,deno,- 1); printsys(numc,denc); num/den = 5 s + 5 - s3 + 3 s2 + 5 s + 5 例题说明： 函数=cloop()用于计算单 位反馈时闭环传递函数多项式模型的 参数向量，右变量为开环参数，左变 量返回系统的闭环参数，反馈极性1 为正反馈，-1为负反馈，省缺时作负 反馈计算。 【例5.4】 系统的结构图如图5.3所 示。 写出闭环传递函数的多项式模型 。 num1=10;den1=1 1 0; num2=0.2 1;den2=0.01 1; num,den=feedback(num1,den1,nu m2,den2,-1) printsys(num,den) num/den = 0.1 s + 10 - 0.01 s3 + 1.01 s2 + 3 s + 10 例题说明： 函数=feedback()用于计 算一般反馈系统的闭环传递函数。 前向传递函数为 ，反馈传递 函数为 。右变量为G(s)和 H(s)的参数，左变量返回系数的闭 环参数，反馈极性1为正反馈，-1为 负反馈，省缺时作负反馈计算。 2.零极点模型（Zero-Pole，简 称ZP） 线性定常系统的传递函数 G(s)一般可以表示为零点、极点形式 ，即 （ 5.6） 式中 ； ； k分别为系统的m个零点、n个极点及 增益k，且均为常数。 由于用m个零点、n个极点及增 益k可以唯一地确定一个系统。因此 ，在MATLAB中可以用向量 、 、k=k0来表示系统 G(s)的零极点模型。 k=k0 用于在MATLAB中描述线 性定常系统的零极点模型。 【例5.5】 系统的传递函数为 写出其零极点模型。 z=-4; p=-1 -2 -3; k=5; 表示该系统的零极点模型。 如果进一步想得到多项式模型 ，另外还可以使用下述几种方法实 现。 p=poly(A) 如果A为nn方阵，poly(A)执行 结果得到矩阵A的特征多项式 （5.17） 则 为矩阵A的特 征多项式系数向量。 如果A为向量，poly(A)执行结 果得到以向量a的元素为根的多项 式。因此，该函数可以用于零极点 模型至多项式模型的转换。 如上例， num=k*poly(z); den=poly(p); printsys(num,den); num/den = 5 s + 20 - s3 + 6 s2 + 11 s + 6 例题说明： 函数poly()用于将多项式 零点转换为多项式。 向量a与向量b作卷积。如果a与b 分别为多项式的系数向量，卷积结果 等价与两个多项式的乘积。因此向量 c的长度为 length(c)=length(a)+length(b)-1 c=conv(a,b) 可见，该函数也可以用于零 极点模型至多项式模型的转换。 【例5.6】 系统的零极点模型为 求多项式模型。 num=2*conv(1,2,conv(1,3,1,3 ) den=conv(1,1,1,2,16) num = 2 16 42 36 den = 1 3 18 16 即系统的多项式模型为 3.状态空间模型（State Space,简 称SS） 线性连续时间系统的状态方程 为 （ 5.18） 其中系统矩阵为，控制矩阵为 ，输出矩阵为，直耦矩阵为，且A、 B、C、D均为常数矩阵，因此可以 由常数矩阵a、b、c、d表示线性定 常系统的状态空间模型。 用于在MATLAB中描述线性定常系 统的状态空间模型。 【5.7】 线性系统的状态空间方程 为 输入常数矩阵 a=0 1;-2 -3 b=0 1;2 0 c=0 3;1 3 d=1 0;0 2 用来表示系统的状态空间模 型。 显示为 a = 0 1 -2 -3 b = 0 1 2 0 c = 0 3 1 3 d = 1 0 0 2 用于已知多项式的系数向量 num，构造变量为S的多项式函数。 poly2str(num,s) 【例5.8】 键入 num=3,2,1,4,2; poly2str(num, s) 显示结果为 ans = 3 s4 + 2 s3 + s2 + 4 s + 2 用于构造传递函数G(s)并作显 示。 printsys (num, den) 【5.9】 键入 num=3,2,1,4,2; den=3,5,1,2,2,1; printsys(num,den); 显示结果为 num/den = 3 s4 + 2 s3 + s2 + 4 s + 2 - - 3 s5 + 5 s4 + s3 + 2 s2 + 2 s + 1 4.模型的转换 上述控制系统的3种数学 模型，可以由模型转换函数相互转 换，以满足不同的使用需要。模型 转换函数基本格式如下。 用于多项式模型与零极点模型之间 的转换。 函数1返回零点向量z、极点向量p和 增益向量k。 函数2返回分子多项式向量num和分 母多项式向量den。 z,p,k=tf2zp(num,den) num,den=zp2tf(z,p,k) 【例5.10】 已知系统的多项式 模型，求零极点模型。 num=0 1 12 44 48; den=1 16 86 176 105; z,p,k=tf2zp(num,den) z = -6.0000 -4.0000 -2.0000 p = -7.0000 -5.0000 -3.0000 -1.0000 k = 1 即原系统的零极点模型为 控制系统的多项式模型TF与状 态空间模型SS之间的转换。 a,b,c,d= tf2ss(z,p,k) num,den=ss2tf(a,b,c,d,iu ) 格式1：将多项式模型TF转换 为状态空间模型SS。 格式2：将状态空间模型SS转 换为多项式模型TF。由于式（5.18 ）定义的状态空间方程是m个输入、 r个输出的，其对应的多项式模型是 传递函数矩阵，即 其维数是rm,因此变量iu指明输 入的号数。相应地，返回变量den是 标量函数，num的维数是r1。 控制系统的状态空间模型SS与 零极点模型ZP之间的转换。 a,b,c,d= zp2ss(z,p,k) z,p,k=ss2zp(a,b,c,d,iu) 格式1：将零极点模型ZP转换为 状态空间模型SS。 格式2：将状态空间模型SS转 换为零极点模型ZP。变量iu指明输 入号。 【5.11】 已知系统的状态空间 表达式为 试求系统的传递函数矩阵G(s)。 a=0 1;-2 -3;b=1 0;0 1;c=0 1;1 0;d=0 0 ;0 0; n1,d1=ss2tf(a,b,c,d,1);n2,d2=s s2tf(a,b,c,d,2); printsys(n1,d1); num(1)/den = -2 - s2 + 3 s + 2 num(2)/den = 1 s + 3 - s2 + 3 s + 2 printsys(n2,d2); num(1)/den = s + 4.4409e-016 - s2 + 3 s + 2 num(2)/den = 8.8818e-016 s + 1 - s2 + 3 s + 2 注意，4.4409e-016为 MATLAB浮点计算残值，实际为零 。系统的传递矩阵为 5.含有时间延迟环节的系统数学 模型 由于时间延迟环节为s的超 越函数，为此，MATLAB准备了n阶 多项式近似函数pade()来近似。 指数函数的pade展开式为 （ 5.20） 形式的无穷幂级数，所以取前n项 ，可以得到时间延迟环节的n阶多项式模 型的近似表达式。 命令格式为 num,d en=p ade(T, n) a,b,c,d =pad e(T,n) 格式1：输入参数T为的延迟时 间，n为给定的近似阶数。返回多 项式模型参数num,den。 格式2：输入参数T为的延迟时 间，n为给定的近似阶数。返回多 项式模型参数a,b,c,d。 【例5.12】 带有时延环节的系统如 图5.4所示。 使用二阶pade()函数，建立系统的 线性模型。 前向线性部分模型为 n1=10;d1=1 1 0; 前向时延环节的二阶pade近似 为 n2,d2=pade(0.1,2) n2 = 1 -60 1200 d2 = 1 60 1200 开环多项式模型为 no=conv(n1,n2); do=conv(d1,d2); 闭环系统多项式模型为 nc,dc=cloop(no,do); printsys(nc,dc); num/den = 10 s2 - 600 s + 12000 - s4 + 61 s3 + 1270 s2 + 600 s + 12000 6.系统数学模型的自动生成 控制工具箱中准备的几个创建 系统模型的函数如下所述。 函数ord2()用于创建一个二阶系统 模型。 num,de n=ord 2(wn,z ) a,b,c,d = ord2( wn,z) 格式1：给定系统的无阻尼振荡 频率和阻尼比，创建一个形式为 （ 5.21） 的二阶系统得到多项式模型。 格式2：给定系统的无阻尼振荡频 率和阻尼比，创建一个形式为 （ 5.22） 的二阶系统状态空间模型。 (MATLAB中不使用希腊字母，在程序 中无阻尼振荡频率 由wn代替，阻尼 比 由z代替。) 函数rmodel()用于创建一个m个输 入、p个输出的n阶系统模型。省缺右变 量n时，阶数n是随机的。省缺m时为单 输入，省缺p时为单输出。 num,de n=rm odel(n, p) a,b,c,d = rmode l(n,p, m) 格式1：随机创建一个n阶系统 的多项式模型。 格式1：随机创建一个n阶系统 的状态空间模型。 7.离散系统数学模型 关于离散系统数学模型， 由于函数使用格式与说明和连续系 统相类似。 【例5.13】 创建一个阻尼比 、 的二阶系统传递函数模型和状态空间模 型。 z=0.2;wn=5; num,den=ord2(wn,z); printsys(num,den) num/den = 1 - s2 + 2 s + 25 a,b,c,d=ord2( wn,z) a = 0 1 -