人教版高中数学选修1-2直接证明与间接证明.ppt

直接证明与间接证明 中学数理化 演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理. 推 理 合情推理 （或然性推理） 演绎推理 （必然性推理） 归纳 (特殊到一般） 类比 （特殊到特殊） 三段论 （一般到特殊） 中学数理化 例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc 因为b2+c2 2bc,a0 所以a(b2+c2)2abc. 又因为c2+b2 2bc,b0 所以b(c2+a2) 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc. 证明: 中学数理化 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: 中学数理化 例：在中，三个内角、对应 的边分别为a、b、c，且、成等差数 列，a、b、c成等比数列，求证为等边 三角形 例：在锐角三角形中， 求证sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC 中学数理化 例：设抛物线y2=2px(p0)的焦点 为，经过点的直线交抛物线于 、两点，点在抛物线的准线 上，且x轴（如图），证明 直线经过原点 4 2 -2 -4 -6 5 B A C OF 中学数理化 作业： 组，组 中学数理化 经过证明 的结论 一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法 特点：执果索因. 用框图表示分析法 得到一个明显 成立的结论 复习 中学数理化 思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙 、丙三箱原有小球数 甲:208个,乙:112个,丙:64个 中学数理化 思考？ A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - - -那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎. 中学数理化 反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。 反证法的思维方法： 正难则反 中学数理化 反证法的基本步骤： （1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成- -立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 - -论正确 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。 中学数理化 应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论 （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多 个” -类命题； （4）结论为 “唯一”类命题； 中学数理化 例1：用反证法证明： 如果ab0，那么 中学数理化 例2 已知a0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 中学数理化 P 例3：证明：圆的两条不全是直径的相交 弦不能互相平分. 已知：在O中,弦AB、CD相交于P，且 AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。 A