浙江省普通高中课程数学必修一函数单调性.ppt

问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得 到了以下一些数据： 时间间时间间 隔 t 刚刚 记记 忆忆 完 毕毕 20 分 钟钟 后 60 分 钟钟 后 8-9 小 时时 后 1天 后 2天 后 6天 后 一个 月后 记忆记忆 量y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图. 123t y o 20 40 60 80 100 思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函 数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算 以后如何对待刚学过的知识? 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下 降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ t y o 20 40 60 80 100 123 问题：观察上面函数的图象，并指出 在定义域内的上升与下降情况。 y= -3x+2 y=x2 y=-x+1 一、函数单调性的概念 Ox y O x y 如何用x与 f(x)来 描述上升的图象？ 如何用x与 f(x)来描 述下降的图象？ 1、如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 量的值x1，x2，当x1f(x2),那么就说函数 f (x)在区间D上是减函数(decreasing function) 。这一 区间叫做f(x)的单调减区间。 注：增、减函数是相对于定义域内某个区间而言的 。 f(x)在这一区间 具有单调性 如果函数y=f(x)在区间间D上是增函数 或减函数，则则称函数f(x)在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数f(x)的 单调区间. 思考：那么二次函数在R上具有单调性吗？ 函数y=(x-1)2的单调区间如何？ 2、函数的单调性是对某个区间而言的； 1、函数单调区间所表示的集合是函数定 义域的子集; 理论迁移 -5 -3 136 o x y 例1 如图图是定义义在闭闭区间间 -5，6上的函数 的图象，根据图象说出 的单调区间，以 及在每一单调区间上， 函数 是增函数还 是减函数. 在区间在区间-2,1), 3, 5-2,1), 3, 5上是增函数。上是增函数。 答：函数答：函数y=f(x)y=f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2),-2,1), 1,3), 3,5, -5,-2),-2,1), 1,3), 3,5, 其中其中 y=f(x)y=f(x)在区间在区间-5, -2), 1,3)-5, -2), 1,3)上是减函数，上是减函数， 例例2 2：证明函数：证明函数f(x)=3x+2f(x)=3x+2在在R R上是增函数。上是增函数。 f( f(x x 1 1 )-f()-f(x x 2 2 )=()=(3 x3 x 1 1 +2 +2)-()-(3 x3 x 2 2 +2+2) ) 由由x x 1 1 xx 2 2 ，得得 x x 1 1 - - x x 2 2 0 0 即即 f(f(x x 1 1 )f()f(x x 2 2) ) 证明：设证明：设x x 1 1 ,x ,x 2 2 是是R R上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x x 1 1 xx 2 2 , ,则则 = =3( x3( x 1 1 - - x x 2 2) ) 于是于是 f(f(x x 1 1 )-f()-f(x x 2 2 )0)0 所以，所以，函数函数f(x)=3x+2f(x)=3x+2在在R R上是增函数。上是增函数。 设元 判号 变形 作差 定论 定义法：利用定义判定(证明)函数的增、减性 设元作差变形判号定论 定义法：利用定义判定(证明)函数的增、减性 设元作差变形判号定论 思考1、画出函数函数y=1/x y=1/x 的图象的图象 小结： 通过观察图象，先对函数是否具有某性质做出猜 想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是 研究函数性质的一种常用方法。 1、这个函数的定义域I是什么 ？ 2、它在定义域I上的单调性是怎样？证明你的结论 。 由图象知：函数在定义域 上不具有单调性。 y x o 归纳已学函数的单调性 1.一次函数y=kx+b 2.反比例函数y=k/x 3.二次函数y=ax2+bx+c 例4 已知函数 在区间0， 4上是增函数，求实数 的取值范围. 思考2：若函数f(x)在区间D上为增函数，a0 为常数，则函数a+f(x),af(X)的单调性如何？ 思考3：若函数f(x)、g(x)在区间D上都是增函数， 则函数f(x)+g(x)、 f(x)-g(x) 在区间D上的单调性 能否确定？ 思考4：若函数f(x)在区间D上是恒正的增函数，则 在区间D上是增函数吗？函数 在区间D 上是减函数？ 1.函数单调性的定义： 1.图象法 2.定义法 小结: 2.函数单调性的判定：一般步骤： 1.任取这个区