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中国矿业大学0708学年第二学期数学分析(2)试卷（A）卷 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷院系_ _班级_ _姓名_ _学号_ _题 号一二三四五六七八总分得 分阅卷人一、填空题（每空3分,共30分）1 .2 .3 .4 心形线的周长为_ _.5 .6级数_（绝对收敛或条件收敛或发散）.7级数的收敛域为 .8设，其中,具有一阶连续(偏)导数,则 .9函数在点沿方向的方向导数 .10曲面在点 处有水平的切平面.二（10分）、讨论二元函数 在点的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数. （注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由.）三（10分）、把函数展开为关于的幂级数并指出收敛域. 四（10分）、把函数展开为余弦级数并指出收敛性，再利用该级数证明: .五（10分）、设在上可导，且，证明：使.六（10分）、若级数收敛，证明和都绝对收敛.七（10分）、求椭圆绕轴旋转所得的旋转曲面的表面积 八（10分）、设，证明：.中国矿业大学0708学年第二学期数学分析(2)试卷（A）卷参考答案一、填空题（每空3分,共30分）1 .2 .3 .4 .5 .6发散.7.8.9.10.二（10分）、讨论二元函数 在点的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数. （注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由.）解：若取直线路径，极限；若取路径为则，所以二重极限不存在.对任意，故 。对任意，所以不存在。从而也不存在。,.三（10分）、把函数展开为关于的幂级数并指出收敛域. 解：因为 ，故 ，又 ，有 ， 所以 ，.四（10分）、把函数展开为余弦级数并指出收敛性，再利用该级数证明: .解：作偶延拓为 令，得.令，则解之得 .五（10分）、设在上可导，且，证明：使.证：由积分中值定理知，使，那么由条件.若令，则有.由Lagrange定理，知，使得 ，整理即得.六（10分）、若级数收敛，证明和都绝对收敛.证：因为收敛，故那么对，存在，当时，有，进而，由正项级数的比较法可知绝对收敛.同理收敛,又收敛，而,故 绝对收敛 七（10分）、求椭圆绕轴旋转所得的旋转曲面的表面积 解: 。八（10分）、设，证明：.证：由，从而有界，即存在正数,使得.又任给，则存在分
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