[中学教育]解析几何归纳.doc

椭圆（一）椭圆的基本概念 1、椭圆的第一定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合叫椭圆。点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a|F1F2|（1）到两个定点F1，F2的距离之和等于|F1F2的点的集合是线段F1F2.（2）到两个定点F1，F2的距离之和小于F1F2的点的集合是空集。椭圆的第二定义：平面内一动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数e的点的集合叫椭圆。点集M=P2、椭圆的标准方程： （焦点在x轴上）， （焦点在y轴上），3、点与椭圆的位置关系。点点点4、椭圆的参数方程：椭圆上任意一点P（x，y），则（二）椭圆的几何性质：焦点在x轴上焦点在y轴上图形性质范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于x轴、y轴、坐标原点对称顶点A1（a，0） A2（a，0）B1（0，b） B2（0，b）A1（0，a） A2（0，a）B1（b，0） B2（b，0）离心率离心率e=，0eb0） 3、椭圆上任意一点P到焦点F的距离的最大值是|PF|=a+c，最小值是|PF|=ac .4、椭圆上任意一点P到两焦点的距离之积的最大值是a2，此时P点与椭圆的短轴的两端点重合5、注意利用平面几何知识解决椭圆问题。如： 双曲线1. 双曲线定义：第一定义：平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的集合叫做双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点间距离是焦距。M= 第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线L的距离之比是大于1的常数的点的集合叫双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。 M=注意：（1）在第一定义中：若2a=，则点的集合是以为端点的射线，若2a，点的集合是空集。（2）在第一定义中：当，则点的集合是双曲线的右支（如图1），当，点的集合是双曲线的左支（如图2）。 （3）在定义二中定点F不在定直线L上。 2. 双曲线的标准方程（1），焦点在x轴上（实轴在x轴上），（2），焦点在y轴上（实轴在y轴上），3. 双曲线几何性质图形对称性 关于x轴、y轴、原点对称范围 或或顶点A1（a，0）A2（a，0）实轴：2a， 虚轴：2bA1（0，a） A2（0，a） 实轴： 2a 虚轴：2b离心率 （e：确定双曲线的开口程度）渐近线焦点半径（1）P（点在右支上，则，（2）P点在左支上，则（1）点在上支上（2）P点在下支上4求双曲线标准方程常见的类型及方法：（1）定义法（已知条件满足双曲线定义）（2）待定系数法（定位：确定双曲线的焦点位置，设方程：根据焦点位置设方程，定值：确定系数）（3）已知渐进线方程，可设双曲线方程是，确定值即可。（4）不能确定双曲线的焦点位置时。可设方程为：（5）与双曲线共焦点的双曲线方程设为： 5. 几种特殊的双曲线（1）等轴双曲线：，（等轴双曲线离心率是）（2）共扼双曲线：互为共轭双曲线。（性质：（1）互为共轭双曲线的四个焦点共圆，（2）离心率倒数平方和等于1，（3）有相同的渐近线）6. 双曲线中的基本三角形：（1）如图3：（2）焦点三角形的面积：，（）抛物线1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线L（L不过F点）的距离相等的点的集合叫抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线。 2、抛物线的标准方程形式： （p0） （p0） （p0） （p0）P：称为焦准距（焦点到准线的距离）3、抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率，（以为例）4、抛物线的通径：过抛物线焦点F且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P1、P2两点，则两交点之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p。5、有关的重要结论：设过抛物线的焦点的直线的倾斜角是，与抛物线交于A（。则有下列结论（1）|AB|=，|AB|=，（显然当时，|AB|最小。最小值是2p，此时|AB|是抛物线的通径。）（2） （3） （4）（定值）（5）以|AB|为直径的圆与准线相切。1. 抛物线的标准方程、图形及几何性质：焦点在轴上，开口向右焦点在轴上，开口向左焦点在轴上，开口向上焦点在轴上，开口向下标准方程图形顶点对称轴轴轴焦点离心率准线通径（是过焦点的所有弦中最短的弦）焦准距2. 抛物线标准方程中p的几何意义是：焦点到准线的距离，故p03. 抛物线的标准方程中，一次项的变量决定对称轴，一次项的符号决定开口方向。4. 弦长公式：（1）过焦点F（，0）的弦长：x，x分别为弦AB的端点的横坐标，y，y 分别为弦AB的端点的纵坐标，弦|AB|x+x+p，yyp（2）一般的弦长公式：类似于椭圆，x，x分别为弦PQ的横坐标，y，y分别为弦PQ的纵坐标，弦PQ所在的直线方程为y=kx+b，代入抛物线方程整理得Ax+Bx+C=0，则或椭圆与双曲线的标准方程的对比名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即当22时，轨迹是椭圆，当22时，轨迹是一条线段当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即当22时，轨迹是双曲线当2