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8.2 偏导数与全微分 偏导数 全微分 1CH1_ 一 偏导数 1 定义 定义1 设在点的某个邻域内有 定义， 若 存在， 则称此极限值为在点处关于的偏导数， 记为 ,， 若 （水平变化率） 2CH1_ 存在， 则称此极限值为在点处关于的偏导数， 记为 ,， 若在区域D上每一点处的偏导数都存在， 则在区域D上有偏导函数 (固定对求导) (固定对求导) 3CH1_ 例1 设求 解 例2 设求 解 4CH1_ 例3 设求 解 例4 设求 解 5CH1_ 例5 设，求 解 6CH1_ 注： 未必有在点处的偏导数存在， 在点处的连续。例如： 在点处不连续，但是 7CH1_ 2 高阶偏导数 一阶偏导数: 二阶偏导数: （二阶混合偏导数） 8CH1_ 三阶偏导数: 例6 求的二阶偏导数。 解 9CH1_ 注：并非所有函数的二阶混合偏导数都相等。 例如： 它在点处的二阶混合偏导数 定理1 若的二阶混合偏导数 和 在点连续，则 （简言之：二阶混合偏导数连续，必相等。） 10CH1_ 二 全微分 1 定义 定义2 设在点的某个邻域内有 定义，若全增量可表示成 其中是常数，则称在点 处可微，且称 为在点处的全微分， 记 为 ，即 11CH1_ 规定 注： 从而 ？ 定理2 设在点处可微， 则 和存在，且 12CH1_ 证 由可微的定义有 取有 因此 故存在，且 同理可证存在，且 所以 13CH1_ 注：若在区域D上可微， 则有函数的微分 例7 设求， 解 14CH1_ 例8 设求 解 2 可微、偏导数、连续之间的关系 可微偏导数存在 定理2 连续 15CH1_ 定理3 设在点处可微， 则 在点连续。 证 由可微的定义及定理2有 因此即 记则有 即在点连续。 可微 定理3 连续 () 16CH1_ 例9 证明函数 在点处连续，且偏导数存在，但不可微。 证 在点处连续。 在点处偏导数存在。 17CH1_ 假设在点处可微， 则 即 于是 这于 不存在，矛盾！在点 处不可微。 故 18CH1_ 定理4 设的偏导数 在点 处连续， 则在点处可微。 证 19CH1_ 而且 即 所以 在点处可微。 （连续偏导 定理4 可微 )
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