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教学研究之关于一道2009年数学中考试题的十四种拓展 初三数学精英班第二讲习题2是2009年山东省潍坊市的中考题，此题难度适中，Top20%的学生应该能顺利地进行求解.笔者在讲解此题的同时,顺势进行一系列的推广,进一步帮助学生深刻理解此题之内涵,收到了比较理想的课堂效果. 为帮助其他班次的同学赏玩此题，笔者不惴浅陋，特将原题抄录于下(为叙述方便故,字母顺序以及图形之形式略有不同).【原题】如图所示，在中，的平分线交的外接圆于点，交于点，是 的内心(三条内角平分线的交点).求证:. 【拓展1】如图所示，在中，、，的平分线分别交外接圆于点、证明： 【拓展2】如图所示，设为的内心，且、分别为、的外心，证 明：与有相同的外心 【拓展3】如图所示，已知是的内心，、的延长线分别交的外接圆于、 ，求证： 【拓展4】如图所示，点是外接圆中的中点，点是外接圆中的中点， 点是外接圆中的中点，交于点，交于点，求证 .【拓展5】如图所示，在圆内接六边形中，求证 .【拓展6】如图所示，已知是等腰三角形的底边上的高，且延长到， 使过点作，垂足为求证：是的内心【拓展7】如图所示，在中，的平分线交的外接圆于点，交于点，是 的内心(三条内角平分线的交点).求证:. 【拓展8】如图所示，在中，的平分线交于点，若，求证:.【拓展9】如图所示，四边形内接于圆，交于，长 度都是整数，求长 【拓展10】如图所示，在中，的平分线交的外接圆于点，交于点， 是的内心(三条内角平分线的交点).求证:. 【拓展11】在中，的平分线交的外接圆于点，交于点，是的 内心(三条内角平分线的交点).求证:三条内角平分线的乘积小于三角形三条边的乘积.【拓展12】如图所示，在梯形中，且 ,求的长【拓展13】如图所示，在中，的平分线交的外接圆于点，交于点， 是的内心(三条内角平分线的交点).求证:.(请至少用三种方法 进行求
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