数学初三第十五章相似(人教).ppt

八年级（下）几何综合 镇江市第六中学 张群 相似形 图形与证明 一、线段的比的概念及性质 二、相似三角形概念与性质 三、位似图形 一、识别命题 二、判断命题的真假 三、互逆命题 四、学会说理 知识梳理 一、线段的比的概念及性质 比例的基本性质 线段的比 成比例线段 黄金分割 典型例题 形如 的连比式，常设辅助未知数解题 例2:小刚身高，测得他站立在阳光下的 影子长为，紧接着他把手臂竖直举起 ，测得影子长为，那么小刚举起的手臂 超出头顶（ ） 典型例题 例2:小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接 着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头 顶（ ） 解:设小刚举起的手臂超出头顶，则根据题意得 () / /， 解得 答案: ? 1.1m0.85m 1.7m 1.7m 1.如果3a-4b=0（其中a 0且b0），则ab= . 2.在比例尺为138000的镇江旅游地图上，某条道路 的长为7cm，则这条道路的实际长度为_km. 3.如果点P是线段AB的黄金分割点，且APPB，则下 列说法正确的是 .（仅填序号） AP2PBAB； AB2APPB； BP2APAB； AP：ABPB：AP 答案：14 3； 2. 2.66； 3.； 知识反馈 二、相似三角形的判断与性质 相似三角形的判断方法： 1.根据定义 2.平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的 延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 3.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。 4.如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； 5.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条 边对应成比例，那么这两个三角形相似； 相似三角形的性质： 1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 2.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于 相似比的平方。 3.相似三角形的对应线段的比等于相似比 二、相似三角形的判断与性质 例1:如图所示，在中，为 边的中点，延长至，延长 交于若， 求证： P E D A B C 典型例题 提示：本题有多种证明方法，现提供几种 辅助线的作法供选用： 过作，交于； K P E D A B C 证法：过作，交于， 由已知， 又， ，即 K P E D A B C 提示：本题有多种证明方法，现提供几种辅助线 的作法供选用： 过作交于； G P E D A B C 证法：过作交于 在中， 在中， G P E D A B C 提示：本题有多种证明方法，现提供几种辅助线 的作法供选用： 设的中点为，连接； M P E D A B C 提示：本题有多种证明方法，现提供几种辅助线 的作法供选用： 延长至，使，连接 F P E D A B C 例2:已知如图所示，中， 于，于， 若 ， ， 求ECAC的值 E F A B C 【解析】要求线段与的比值，由题目条件 易证 ，得出比例式 ，可换个角度看图形，则比例式 又可看成是使 成立的条件，从而寻求到转机，后面 的问题就易于解决了 E F A B C 解：于， 于， ， ， ， 又是公共角， ， ( ) 设，则， ， ECAC= 3 E F A B C 当证两个三角形相似时，若两个三 角形有公共角，一般运用“两组对应边 的比相等且夹角也相等，两三角形相似 ”证明 一般证明线段成比例的问题或者计算问 题在证明时我们一般要遵循以下三步： （）“定”：先确定比例式中的四条线段 所在的两个可能相似的三角形 （）“找”：找出这两个三角形相似所需 的条件 （）“证”：根据以上分析，写出证明过 程如果这两个三角形不相似，只能采用其 他方法，如利用找中间比代替或引平行线等 例3:如图所示，点在正方形的边 上运动，与交于点 （）如图，当点运动到的中点时 ，求 与四边形的面积之比 ； 图 例3:如图所示，点在正方形的边 上运动，与交于点 （）如图，当点运动到 时，求与四边形的 面积之比； 图 F E B D C A 例3:如图所示，点在正方形的边上 运动，与交于点 （）当点运动到时，写出 与四边形的面积之比；当点运 动到（是正整数）时，猜想 与四边形的面积之比（只写结果 ，不要求写出计算过程）； F E B D C A F E B D C A 例3:如图所示，点在正方形的边 上运动，与交于点 （）请你利用上述图形，提出一个类似的 问题 F E B D C A F E B D C A 例3:如图所示，点在正方形的边上运动， 与交于点（）如图，当点运动到的中 点时，求 与四边形的面积之比； 图 解：（）如图，连接 因为点为的中点， 所以: : : 据题意可证 ， 所以 : 因为 ， 所以 :四边形 : ( ) : F E B DA C 例3:如图所示，点在正方形的边上运动， 与交于点 （）如图，当点运动到时，求 与四边形的面积之比； 图 （）如图，连接 与（）同理可知， ， ， ， 所以 四边形 ( ) F E B DA C 例3:如图所示，点在正方形的边上运动， 与交于点 （）当点运动到时， 写出与四边形的面积之比； 当点运动到（是正 整数）时，猜想与四边形 的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程） （）当时， 四边形 当时， 四边形 （） 【（）】 () () F E B D C A 例3:如图所示，点在正方形的边上运动， 与交于点 （）请你利用上述图形，提出一个类似的问题 （）提问举例：当点运动到时 ，与四边形的面积之比是多少？ 当点运动到时，与四边 形的面积之比是多少？ 当点运动到（，是正整数） 时，与四边形的面积之比是多少? F E B D C A F E B D C A 动与静体现了事物矛盾双方的辩证 关系，在一定条件下，既对立又统一 把运动中的图形在某种情况下的特殊位 置看做静止状态来研究，这是常用方法 之一 1如图，在ABC中，点D在 AB上，请再添加一 个适当的条件，使ADC与ACB相似，那么要添 加的条件是 (只填一个即可) 答案：ACD=B或ADC=ACB或AC2=ADAB D C B A 知识反馈 2.如图，在24的正方形方格中，有格点ABC （我们把顶点在正方形的顶点上的三角形叫做格 点三角形），则与ABC相似但不全等的格点三角 形共有 个. 答案：2； 3.如图，矩形ABCD中，AB=12， AD=10，将此矩形折叠，使 点B落在AD边的中点E处，则 折痕FG的长为 . 答案： G F E D C BAH 4如图，在平行四边形ABCD中， 过点B作BECD，垂足为E，连结AE F为AE上一点，且BFEC (1)求证：ABFEAD； (2)若AB4，BAE30，求AE的长； (3)在（1）、（2）的条件下，若AD3，求BF的长 （计算结果可含根号） 答案： ( 1) BFEC AFB =D ABCD BAF =AED ABFEAD 4如图，在平行四边形ABCD中， 过点B作BECD，垂足为E，连结AE F为AE上一点，且BFEC (1)求证：ABFEAD； (2)若AB4，BAE30，求AE的长； (3)在（1）、（2）的条件下，若AD3，求BF的长 （计算结果可含根号） 答案：(2)设AE为x,则BE为 x AB4，由勾股定理得AE= 4如图，在平行四边形ABCD中， 过点B作BECD，垂足为E，连结AE F为AE上一点，且BFEC (1)求证：ABFEAD； (2)若AB4，BAE30，求AE的长； (3)在（1）、（2）的条件下，若AD3，求BF的长 （计算结果可含根号） 答案：(3)ABFEAD 5. 一块直角三角形本块的 面积为1.5m2，直角边AB长1.5m,想要把它加工成一个 面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法 分别如图、图所示。你能用所学知识说明谁的加 工方法更符合要求吗？ F E B C A D GF E B A C D 5. 直角三角形面积为1.5m2， 直角边AB长1.5m CB=2 m 由图1 DE= 由图2,过点B作BNAC交DE于M,交AC于N,则 DE= 甲的加工方法更符合要求 M N GF E F E B A B C C A D D 6. 张明同学想利用影子测校园内的树高。他在某 一时刻测得小树AB高为1米时，其影长为0.8米。当 他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教 学楼，有一部分影子在墙上。经测量，地面部分影 长为6.4米，墙上影长为1.4米，求这棵大树的高 F G D E 1m 0.8m A BC F G D E 1m 0.8m A BC 6.延长DG与EF交与点M GFMABC FM=1.12m 又DEMABC DE=9.4m M F G D E 1m 0.8m A BC 另解:过点G作GHEF, 则 DHGABC,DE=DH+HE=DH+GF=9.4m 再如:过点F作FPDG, 则 PEFABC,DE=DP+PE=GF+PE=9.4m H P 三、位似变换 例题：如图，在直角坐标系中ABC 的A、B、C三点坐 标为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0) (1)请在图中画出ABC的一个以点P (12，0)为位似中 心，相似比为3的位似图形(要求与ABC 同在P点一侧); (2)求线段BC 的对应线段BC所在直线的解析式 典型例题 解:(1)画出ABC，如图所 示 (2)作BDx轴， BEx轴，垂足 分别是D，E点 BEBD B(8，2)， OD=8，BD=2 PD=12-8=4ABC与ABC的相似比为3， BE=6，PE=12 PO=12E与O点重合，线段BE在y轴上 B点坐标为(0，6) 同理PC：PC=3:1 又PC=OP-OC=12-9=3，PC=9 OC=12-9=3 C点坐标为(3，0) 设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b则 k=-2,b=6线段BC所在直线解析式为y=- 2x+6 知识反馈 1如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和点F的 坐标分别为（3，2），（1，1），则两个正方 形的位似中心的坐标是_ （1，0）、（-5，-2）； 答案： A B D COE F G y x 第1题图 四、说理与证明 四、说理与证明 本题中灵活运用菱 形的性质：四边相等， 两组对角分别相等.找到 全等三角形的对应元素 是解本题的关键 例1 如图，菱形ABCD中，E，F分别为 BC、CD上的点，且CE=CF求证：AE=AF 典型例题 证明：四边形ABCD是菱形， AB=BC=CD=DA，B=D CE=CF，BE=DF 在ABE与ADF中， AB=AD， B=D， BE=DF ABEADF， AE=AF 例1 如图，菱形ABCD中，E，F分别为BC、CD 上的点，且CE=CF求证：AE=AF 由正多边形的性质可知：正 多边形的各边相等，各角相等 这是一类结论不惟一的试题解 决此类问题的关键是依据图形， 通过准确辨认全等三角形的对应 元素，证明三角形全等 例2 如图2，在正五边形ABCDE中，连结对角线AC、 AD和CE，AD交CE于F （1）请列出图中两对全等三角形_ （不另外添加辅助线）； （2）请选择所列举的一对全等三角形加以证明 解：（1）ABC AED，ABC EDC； （2）证明：在正五边形ABCDE中， AB=BC=CD=DE=EA， EAB =B =BCD =CDE =DEA， 在ABC与AED 中， AB =AE，B =DEA，BC =DE， ABC AED， 在ABC与EDC 中， AB =ED，B =CDE，BC =DC， ABC EDC 例3 如图3，已知AB=AC， （1）若CE=BD，求证：GE=GD； （2）若CE = m BD（m为正数）， 试猜想GE 与GD 有何关系 （只写结论，不证明） 证明在不同三角形中的两条线段和两个 角相等的常用方法就是证明两个三角形全等， 要证明线段GE 和GD 相等，在辨认三角形全等 对应元素时，发现图中没有三角形全等，需要 通过合理添加辅助线构造三角形全等 过D 作DFCE，交BC于F （1）证明：过D 作DFCE， 交BC 于F， E =GDF， AB =AC，DFCE， DFB =ACB =ABC， DF =DB =EC 又DGF =EGC，GDF GEC GE =GD （2）GE = m GD 例4：下列命题是假命题的是（ ） （）四个角相等的四边形是矩形 （）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （）四条边相等的四边形是菱形 （）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的 判定方法是解决本题的关键 解：选（D） C B D A 本题主要考查同学们对 平行四边形及特殊的平行 四边形的判定方法的把握 例5 如图5，已知点D在ABC的BC边上， DEAC交AB于E，DFAB交AC于F （1）求证：AE=DF； （2）若AD平分BAC，试判断四边形 AEDF的形状，并说明理由 证明：（1）DEAC， ADE=DAF， 同理DAE=FDA AD=DA， ADEDAF， AE=DF （2）若AD平分BAC， 四边形AEDF是菱形 证明：DEAC，DFAB， 四边形AEDF是平行四边形， FAD=EAD，AF=DF， 平行四边形AEDF为菱形