数学分类讨论思想.ppt

v分类讨论思想，就是把要研究的数学对 象按照一定的标准划分为若干不同的类 别，绕后逐类进行研究、求解的一种数 学解题思想。分类思想的实质是按照数 学对象的共同性和差异性，将问题划分 为不同的种类，其作用是克服思维的片 面性，防止漏解。 v引起分类讨论主要原因：（1）概念本 身是分类定义的。如绝对值、点（直线 、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概 念的分类；（2）某些公式、定理、性 质、法则的条件和范围是限制的; （3） 含有字母系数的问题，需对该字母的不 同取值范围进行讨论； v（4）题设的数量大小或关系确定，而 图形的位置或形状不确定(5)题目条件和 结论的不唯一； 解答分类讨论型问题的关键是要有分类讨 论的意识，克服想当然的错误习惯，注意 分类可能导致问题发生质的变化的各种情 况。解答分类讨论型问题的一般步骤是： （1）确定分类对象； （2）进行合理分类（理清分类的界限， 选择分类标准，并做到不重复、补遗漏）; （3）逐类进行讨论 （4）归纳出结论 分类讨论型问题常与开放探究型问题综 合在一起，不论是在分类中探究，还是 在探究中分类，都需要具备扎实的基础 知识和灵活的思维方式，对问题进行全 面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。分 类讨论是中学数学中常用的一种数学思 想方法，它能考查学生的综合的数学知 识和灵活的应用能力，因此，分类讨论 型问题也是中考命题的热点之一，常出 现在中考数学的压轴题中。 问题所涉及到的数学概念是分类 进行定义的.如|a|的定义分a0、 a0、a2时分a0、a0和 a0三种情况讨论.这称为含参型. 例4、已知Aa 2，Ba 2a5， Ca 25a19，其中a2 求证：BA0，并指出A与B的大小关系； 指出A与C哪个大？说明理由 解:(1) BA（a1）2+2 0 BA （2）CA（a7）(a3) a2， a70 当2a3时， AC 当a3时， AC 当a3时， AC 某些不确定的数量、不确定的图 形的形状或位置、不确定的结论 等，都要通过分类讨论，保证其 完整性，使之具有确定性. 1、已知O的半径为5cm，AB、CD是O的弦，且 AB=6cm， CD=8cm，ABCD，则AB与CD之间 的距离为 。 7cm或1cm 2、在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分 别是 、 ，则BAC的度数是 。150或750 3、ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若 BC=2 cm,则 A的度数是 。 600或1200 例5 O O 7、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和 3 cm两部分 ，则这个矩形的面积为 。 1 13 3 31 4cm2或12cm2 5、半径为3cm、5cm的两圆相切，则它们的圆心 距为 。 8cm或2cm 4若O的弦 AB所对的圆心角AOB=60，则弦 AB所对的圆周角的度数为 。 6、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2 ，那么另一个圆的半径是_1或5 300或1500 8、 矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形 的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱 的表面积为_ . 16或21 例6：1、如图，线段OD的一个端点O在 直线a上，以OD为一边画等腰三角形， 并且使另一个顶点在直线a上，这样的 等腰三角形能画多少个? 150 a 2、在直角坐标系中，O为坐标原点， 已知 A（1，1），在x轴上确定点P， 使得AOP为等腰三角形，则符合条 件的P点共有 个 4 y o x A (1,1) P1(2,0) P3( ,0) P2(- ,0) P4( 1, 0 ) 1 -1 -1 1 1）、对A进行讨论 2）、对B进行讨论3）、对C进行讨论 C AB A C B 2020 20 20 C AB 5050 C A B 80 80 20 C AB 65 6550 C AB 35 35 110 B A C 50 110 20 例7、在下图三角形的边上找出一点，使得 该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！ 例8、在ABC中，C=900，AC=3，BC=4。 若以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个 公共点，则R的值为多少？ A C B B A C C B A 分析（1）圆C与斜边AB相切时， R=2.4 （2）圆C与斜边AB相交时，一个交点在线段AB上， 另一个交点在延长线上。 3 R4 例9、半径为R的两个等圆外切，则半径为 2R且和这两个圆都相切的圆有几个？ 例10、在劳技课上，老师请同学们在一张 长为17cm，宽为16cm的长方形纸板上，剪 下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等 腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点 重合，其余两个顶点在长方形的边上）请 你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面 积. 17 16 (1）若顶角顶点与矩形顶点重合 如图，当AE=AF=10时,SAEF= 1010=50(cm2) CB DA 17 16 E F (2）若底角顶点与矩形顶点重合 CB DA E F 如图，当EA=EF=10时,BE=6, BF= =8, SAEF= 108=40(cm2) CB DA E F 如图，当EA=EF=10时,DE=7, DF= = , SAEF= 10 = 5 (cm2) 1 2 CB DA 17 16 E F CB DA E F CB DA E F 三角形面积是50cm2 、 40 cm2 、 cm2 例11：在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像 与 x 轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次 函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长 为2且有一个内角为60的菱形，求此二次函数的 表达式. 分析：本题是数量（60的角 ）不确定，所以要分类讨论， 同时，本题中还涉及到轴对称 ，因此有4种情况产生. 解： 设二次函数的图像的对称轴与 轴相交于点E， （1）如图，当 时， 因为ABCD菱形，一边长为2， 所以， 所以点B的坐标为（ ，0）， 点C的坐标为（1，-1）， 解得 ，所以 图 （2）如图，当 时，由菱形性质知点 A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1， ）， 解得 所以 同理可得： 所以符合条件的二次函数的表达式有： 图 在有关动点的几何问题中，由于图形 的不确定性，我们常常需要针对各种 可能出现的图形对每一种可能的情形 都分别进行研究和求解换句话说， 分类思想在动态问题中运用最为广泛 C A D B 例12、如图图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米 ,点P从点A开始沿折线线ABCD以4厘米/秒的 速度移动动,点Q从点C开始沿CD以1厘米/秒的速度 移动动,如果点P和Q分别别从点A、C同时时出发发,当其中 一个点到达D点时时,另一点也随之停止运动动.设设运 动时间为动时间为 t（秒）. （1）当t为何值时，四边形APQD为矩形； P Q AP=4t,CQ=t,DQ=20-t,t=4(秒) 当t=4秒时，四边形APQD为矩形 P C Q P Q P Q （2）若P和Q半径都是2厘米,那么当t 为为何值时值时 ,P和Q相外切? A D B P Q P C D B Q P Q P Q P Q 当t=4秒、 秒、 秒时，P和Q相外切 A 例13、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从 点D开始向A以1cm/秒的速度移动时，如果P、Q同时 出发，用t秒表示移动的时间（0t6）那么：（ 1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？ Q P A DC B 解:(1) AP=2t,DQ=t,QA=6 ， 当=AP时，QAP为等腰直 角三角形， 即6t=2t,解得t=2（秒） 当t=2秒时， QAP为等腰直 角三角形。 （2）在QAC中，S= QADC= （ 6t)12=36 在APC中，S= APBC= S QAPC的面积=（6t)+6t=36(cm2) 由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变。 Q P A DC B 在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发 向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒 的速度移动时，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时 间（0t6）那么： （2）求四边形QAPC的面积,并提出 一个与计算结果有关的结论； Q P A DC B （3）根据题意，可分为两种情况来研究 当 = 时，QAPABC，则 = ，解得t= =1.2（秒）。 当t=1.2秒时，QAPABC。 当 = 时，PAQABC，则 = ，解得t=3（秒）。 当t=3秒时，PAQABC。 当t=1.2秒或t=3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似。 在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发 向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒 的速度移动时，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时 间（0t6）那么： （3）当t为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与ABC相似？ 例14. 如图图所示，在直角梯形ABCD中，AD/BC， AD=21。动动点P从点D出发发，沿射线线DA的方向以每秒2个单单位长长 的速度运动动，动动点Q从点C出发发，在线线段CB上以每秒1个单单位长长 的速度向点B运动动，点P，Q分别别从点D，C同时时出发发，当点Q运 动动到点B时时，点P随之停止运动动。设设运动动的时间为时间为 （秒）。（1 ）设设BPQ的面积为积为 S，求S与t之间间的函数关系式； （2）当线线段PQ与线线段AB相交于点O，且BO=2AO时时，求 （3）当t为为何值时值时 ，以B、P、Q三点为顶为顶 点的三角形是等 腰三角形？ 的正切值； (4)是否存在时刻t，使得PQBD？若存 在，求出 t的值；若不存在，请