数学选修2-31.4二项式定理(第2课时).ppt

1.51.5二项式定理二项式定理( (2 2) ) * * 苏教高中数学选修苏教高中数学选修2-32-3 学习目标学习目标 (1)(1)掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用其掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用其 解决与二项展开式有关的简单问题解决与二项展开式有关的简单问题; ; (2)(2)培养归纳猜想、抽象概括、演绎证明等思维能力培养归纳猜想、抽象概括、演绎证明等思维能力; ; 一、问题引入：一、问题引入： 问题问题2 2：由由 展开式所得的展开式所得的x x的的 多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？ 问题问题1 1：试判断在试判断在 的展开式中有的展开式中有 无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果 没有，说明理由没有，说明理由. . 二、复习旧知：二、复习旧知： 1 1、二项式定理：、二项式定理： 2 2、通项公式：、通项公式： 3 3、特例：、特例：取取a=a=1 1, b=, b=x x ; ; 取取a a=1,=1,b b=1=1 ( (T T r+1r+1是 是展开式展开式的第的第r r +1 +1项项) ) 注：注： 叫做二项式系数，叫做二项式系数， 表示的是展开式的第表示的是展开式的第r+1r+1项项 而非第而非第r r项项, , 即即r r不是项数不是项数, , r+1r+1才是项数才是项数, ,反过来，反过来， 当已知项数时，将其减当已知项数时，将其减1 1，才得，才得r r； 二项展开式中各项的二项式系数仅为二项展开式中各项的二项式系数仅为 ，它仅与各项的它仅与各项的项数项数有关，而有关，而 与与a a，b b的值无关；而各项的系数不仅与各项的的值无关；而各项的系数不仅与各项的 项数有关项数有关, ,且与且与a,ba,b的值有关的值有关. .但当二项式中但当二项式中a,ba,b系系 数均为数均为1 1时时, ,展开式中项的系数等于二项式系数展开式中项的系数等于二项式系数. . 对定理的再认识：对定理的再认识： 二项展开式有二项展开式有n n+1+1项项, ,比二项式的次数比二项式的次数n n大大1;1; 在排列方式上在排列方式上, ,按照字母按照字母a a的降幂从第一项起的降幂从第一项起, ,次数由次数由n n 次逐项减小次逐项减小1 1直到直到0 0次次, ,同时字母同时字母b b按照升幂排列按照升幂排列, ,次数由次数由0 0 次逐项增加次逐项增加1 1直到直到n n次次; ; 二项式定理中的字母二项式定理中的字母a a、b b是不能交换的是不能交换的, ,即即( (a+b)a+b) n n 与与 ( (b+a)b+a) n n 的展开式是有区别的的展开式是有区别的, ,二者的展开式中的项的排列二者的展开式中的项的排列 顺序是不同的顺序是不同的, ,不能混淆；不能混淆； 二项式定理表示一个恒等式，对于任意的二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a a、b,b,该等该等 式都成立式都成立, ,通过对通过对a a、b b取不同的特殊值，可给某些问题取不同的特殊值，可给某些问题 的解决带来方便；的解决带来方便； 二项式定理的应用二项式定理的应用 二项展开式的通项公式，反映出二项展开式的通项公式，反映出 展开式在指数、项数、系数等方面的展开式在指数、项数、系数等方面的 内在联系，因此能运用二项展开式的内在联系，因此能运用二项展开式的 通项公式求特定项、特定项系数、常通项公式求特定项、特定项系数、常 数项、有理项及系数最大值、绝对值数项、有理项及系数最大值、绝对值 最大值的项最大值的项. . 三、例题选讲：三、例题选讲： 例例1 1 求（求（x x+ +a a) )12 12的展开式中的倒数第 的展开式中的倒数第4 4项项. . 解：解： 故故第第4 4项的系数为项的系数为280280，二项式系数为，二项式系数为 . . 系数为系数为-84-84，中间项为：，中间项为： ：由：由 展开式所得的展开式所得的x x的的 多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？ 例例22：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有 无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果 没有，说明理由没有，说明理由. . 问题解决问题解决 例例22：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有 无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果 没有，说明理由没有，说明理由. . 解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1r+1项为常数项，则：项为常数项，则： 由由题意可知，题意可知， 故故存在常数项且为第存在常数项且为第7 7项，项， 常数项常数项 常数项即常数项即 项项. . ：由：由 展开式所得的展开式所得的x x的的 多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？ 解：解： 的展开式的通项公式为：的展开式的通项公式为： 点评：点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公 式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要 求也高求也高. . 有理项即有理项即 整数次幂整数次幂项项. . 例3 (x2+3x+2)5展开式中x的系数为_ . 方法1 (x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5 方法2 (x2+3x+2)5=x(x+3)+25 方法3 (x2+3x+2)5=x2+(3x+2)5 方法4 (x2+3x+2)5= (x+1)5 (x+2)5 ，. 四、课堂练习： 1 1、 已知已知mm为等差数列为等差数列3 3，8 8，1313，中任一项，试判断中任一项，试判断 展开式中是否存在常数项？展开式中是否存在常数项？ m2 ) x 3 x2(+ 若若a a1 1，求，求a a的值的值. . 1 1 3、若（ x + 1 ）n = x n + ax3 + bx2 +1（ nN*）， 且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_ （95 上海高考） 11 五、课堂小结： 二项式展开式的通项公式反映了展开 式的一般项，把握住二项展开式的通项公 式是掌握二项式定理的关键，利用它可以 求展开式的任意指定项，如中间项、常数 项、整数项、有理项等，或指定项的系数 ，且应灵活应用. 六、作业布置： 1 1、求、求 的展开式里有几个有理项？的展开式里有几个有理项？ 2 2、求、求 的展开式中的展开式中a a、b b的指的