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第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十章 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 定义: 设 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 函数, 叫做积分曲面. 进一步可得与质量有关的下述公式: 的中心坐标 对z轴的转动惯量 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性. 则有 线性性质. 在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 且有 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 而 (光滑) 说明: 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. (见本节后面的例7) 例1. 计算曲面积分其中是球面 被平面截出的顶部. 解: 思考: 若 是球面被平行平面 z =h 截 出的上下两部分, 则 对称性算法:关于xoy面对称,则 例2. 计算 其中 是由柱面 与平z=0及z=h(h0) 所围成的圆柱体的表面,并 解: 设其中 做一个物理解释. 另解: 其中 错解: 原因: 圆周上的点与曲面上的点之间不是一一对应的.因此选 xoy面作为投影面是错误的. 物理解释: 面密度为1时曲面对oz轴的转动惯量. 例3. 计算 其中 是介于平面 之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 则 解: 取曲面面积元素 两片, 则计算较繁. 例4. 求椭圆柱面 位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解: 取 例5. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心. 解: 设 的方程为 利用对称性可知重心的坐标而 用球坐标 例6. 设 计算 解: 锥面与上半球面 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的 投影域为则 思考1: 若例6 中被积函数改为 计算结果如何 ? 思考2: 例 6 是否可用球面坐标计算 ? 例7. 计算其中 是球面 利用对称性可知 解: 显然球心为半径为 利用重心公式 轮换对称性 内容小结 1. 定义: 2. 计算: 设则 (曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标
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