中级经济师人力资源管理专业知识与实务试题.ppt

2.1.2 换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法换元积分法。通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元。 问题 解决方法利用复合函数，设置中间变量. 过程令 一、第一类换元法（凑微分法） 说明结果正确 将上例的解法一般化： 设 则 如果（可微） 将上述作法总结成定理，使之合法化，可得 换元法积分公式 第一类换元公式（凑微分法） 定理1 注定理说明：若已知 则 因此该定理的意义就在于把 中的换成另一个 的可微函数后，式子仍成立 又称为积分的形式不变性 这样一来，可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。 由定理可见，虽然 是一整体记号，但可把视为自变量微分 凑微分 凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化 凑微分法的基本思路： 与基本积分公式相比较，将不同的部分 中间变量和积分变量变成相同 步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量 例1 求 解（一） 解（二） 解（三） 例2 求 解 一般地 例3 求 解 例4 求 解 例5 解 例6 求 解 例7 解 注意：拆项是常用的技巧 例8 求 解 例9 求 解 例10 求 解 例11 求 原式 例12 求 解 或 例13 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分. 例14 求 解 例15 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形） 解（二） 解（三） 类似地可推出 解 例16 设 求 . 令 例17 解（一） 分子分母同乘以 解（二） 分子分母和差化积 解（三） 分子恰为分母的导数 第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法， 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循， 只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟 记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对 被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因 子。 作业：P78 2.2 (2)(3)(7)(9)(10)(16)(17)(19)(20)(30)(35) 问题 解决方法改变中间变量的设置方法. 过程令 （应用“凑微分”即可求出结果） 二、第二类换元法 证设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理2 第二类积分换元公式 例19 求 解 令 例20 求 解 令 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 注意：所作代换的单调性。对三角代换而言， 掌握着取单调区间即可。 说明(2) 积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的 情况来定. 例22 求 解令 例23 求 解 令 说明(3) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例24 求 解令 说明(4) 当被积函数含有两种或两种以上的 根式 时，可采用令 （ 其中 为各根指数的最小公倍数） 例26 求 解令 基 本 积 分 表 三、小结 两