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说明说明: : 1.由于R2, R3中的点与向量一一对应. 因此 在无特别声明时,总用X, Y 等表R2, R3中的 点(向量). 用x, y, z, a, b, c 等表实数. 2.由于有多种乘积使用记号“ “, 因此, 阅读 教材时, 应注意区别 “ a“, “A P“, “X B“ 的含意. 对“ +“ 也类似. 以后在表述时不再区分这两个概念. 一、多元函数的概念一、多元函数的概念 以前我们接触到的函数 y = f (x)有一个特 点, 就是只有一个自变量, 函数 y 是随着这一个 自变量的变化而变化的. 我们称为一元函数. 如 y = sinx, y = x2 + 3cosx 等. 11 多元函数的概念 所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变 量的函数. 函数 y 随多个自变量的变化而变化 . 圆柱体体积圆柱体体积 V V = = r r 2 2 h h 体积 V 随 r, h的变化而变化. 一对数(r, h),就有唯一的一个V与之对应. 或者说,任给 长方体体积长方体体积V = V = xyzxyz V 随 x, y, z 的变化而变化. 一组数(x, y, z), 就有唯一的一个V与之对应. 或者说, 任给 这些都是多元函数的例子. 有一个自变量 的称为一元函数, 有二个自变量的称为二元函 数. 有三个自变量的称为三元函数, ,有 n 个 自变量的称为 n 元函数. 二元以上的函数统称 为多元函数. 与一元函数类似, 我们有 二元函数定义二元函数定义 设D是xy平面上的一个点集,即 D R2, 若对任意的点 X = (x, y)D R2, 按照某个 对应规则f ,总有唯一确定的实数z 与之对应 , 则称 f 是定义在D上的二元实值函数,记作 f : D R, X = (x, y) z . 习惯上, 称 z = f (X ) = f (x, y) 为二元函 数, 另外, 称 x, y 为自变量, z 为因变量. 比如 z = sinx +cosy, z = 3x2 + ey . 称 z 为点 X = (x, y) 在 f 下的像, 记作f (X) 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y). 也称作 X = (x, y)所对应的函数值. 称 D 为函数f 的定义域.D在f 下的像集 f (D)= f (X )| XD 称为 f 的值域. 注 注1 1 一般说来, 自变量x , y都是独立变 化的.它们只受到(x, y)D 的限制. f (x, y) 的表达式, 算 f (x0, y0) 的方法与一元函数 类似. 另外, 若给出了 如 f (X) = f (x, y) = 3x+y2, X0 = (1, 1) 则 f (X0) = f (1, 1) = 3 1+12 = 4 f (x+y, siny) = 3(x+y) + sin2y 注注2 2 特别,若定义域 D 是 x y 面上一条 曲线. D: y = g(x). g 事实上, x D 上的点f (x, g(x) = (x, y) z . f = f (x, g(x)成为一元函数. 则二元函数 z = f (x, y) 注注3 3 任何一个一元函数都可扩充为一个 二元函数. 事实上,z = f (x) = f (x) + 0 y 只须将 z 作为一元函数的定义域 D R 扩 充为R2 中点集即可. 注2,注3说明二元函数是一元函数的推广, 而一元函数则是二元函数的特殊情形. 二元函 数是定义在 xy 平面某点集上的函数,而一元函 数是定义在 xy 面上一条直线(x 轴)上的二元函 数. 类似的,有n元函数定义. 设D Rn , 若对任意的 X = (x1, x2, , xn) D Rn , 按某个对应规则 f , 总有唯一确定的实 数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的 n 元实 值函数. 记作 f : D R , X = (x1, x2, , xn) z . 并记 z = f ( X ), 或 z = f (x1, x2, , xn). 定 义 解：解：与一元函数类似. 就是要求使这个式子有意义 的平面上的点的集合. 例例1 1 求 z = ln (x + y)的定义域 D , 并画出D的图形. x + y 0. 故 定义域 D = (x, y)| x + y 0 画直线 y1 = x. 由于 D 中点 (x, y) 的纵坐标 y 要大 于直线 y1 = x 上点的纵坐标 y1, 故D表示直线 y1 = x 上方点的集合. (不包括边界y1 = x上的点) 为画 D 的图形, 由x + y 0, 得 y x = (y1). x + y = 0 x y o 如图 y x D (不包括直线 x + y = 0) 例例2 2 解解: : 故 故 D 表示到原点距离不超过1的点的集合. 即, D 为单位圆盘 (包括边界). x y o x2 + y2 = 1 (包括圆周) D 例例3 3 解解: : D = (x, y) | y2 y2 ( = x1)知, D在曲线 x1= y2的右侧. 由 x 0 易见, 直线上方 每一点都是D的内点. 即 D=D, 但直线上 的点不是D的内点. 3. 3. 边界点边界点: : E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界. 记作 E. 如, 例1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图 设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)是平面上一 个点. 若 X0的任何邻域 U(X0 , )内既有属于 E 的点, 又有不属于E的点, 则称 X0 为 E 的边界点. x y o 1 1 x2 + y2 = 1 D x + y = 0 x y o D E 的边界点可以是 E 中的点,也可以 不是E中的点. 可以证明: E中的点 X0E只可能有两种情形. (1)X0为E的内点.(2)X0为E的边界点. 两者必居其一. R2中的点X只可能有三种情形. (1)X为E的内点.(2)X为E的边界点. (3)X为E的外点. 4. 4. 开集开集 设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点. 即 E E0, 则称 E 是一个开集. 由于总有 E0 E, 因此, E E0 E = E0 故也可说, 比如, 例1中 D 是开集, (D = D0 ), 而例2中 D 不是 开集. 规定, , R2为开集. 若E = E0 , 则称 E 是一个开集. x y o E 又比如, E 如图 若 E 不包含边界, 则 E 为开集. 若 E 包含边界, 则 E 不是开集. 结论 结论: :非空平面点集 E 为开集的充要 条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点. 即 E 不含有 E 的边界点. 证证: : 必要性. 设 E 为开集, X E, 由开集定义知 X 为 E 的内点. 故 X 不是 E 的边界点. 充分性：充分性：若 E 中每一点都不是 E 的边界点. 要证 E 为开集. X E,由于 X 不是 E 的边界点. 而 E 中的点或者为 E 的边界点,或者为E的内点, 两者必居其一, 故 X 为E的内点, 因此E为开集. 5. 5. 连通集连通集 如图 X Y E 连通 Y X E 不连通 设E是一非空平面点集, 若X ,YE. 都 可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称 E为连通集. 从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是 连成一片的. E 中的点都可用折线连接. 例1, 2中的 D 都是连通集. 如图 x + y = 0 x y o x y o 1 1 x2 + y2 = 1 6. 6.开区域开区域( (开域开域) ) 设 E 是一平面点集. 比如, 例1中D是开 区域. 如图. E 从几何上看, 开 区域是连成一片的,不 包括边界的平面点集. 若 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域. 7. 7.闭区域闭区域( (闭域闭域) ) 若 E 是开域, 记 称为闭区域. 如图. E 易见,例2中的D是闭 区域. 从几何上看,闭区域 是连成一片的.包括边界 的平面点集. (本书把)开区域和闭区域都叫作区域. 易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域. 8.设 E R2,若存在r 0,使 E U(O, r),则 称E为有界集. 否则称E为无界集. 9. 9.聚点聚点 从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指 在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点. 设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点. 若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E . 则称 X0 是E 的一个聚点. X0 如图 1.聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域 内至少含有 E 中一个异于X0 的点. 则称 X0 为 E 的 一个聚点. (自证). 2.E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E . 3.E 的内点一定是 E 的聚点. 4.若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点. 即,区域中的任一点都是该区域 的聚点. 一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但若 E 是开集, 则 E 的边界点一定是 E 的 聚点, 自证. 10.10.孤立点孤立点 若点X0E,且存在0,使得邻域U(X0, )内 除X0外, 所有点均不属于E, 即 (X0, )E = , 则称 X0 为 E 的孤立点. 如图. X0 显然, E的孤立点X0总是E的边界点, 但不是聚点. 邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开 区域, 闭区域, 聚点，孤立点这些概念都可毫 无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似 的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空 间中去, 但不再有几何意义. 设 z = f (X) = f (x, y) 的定义域是平面区域 D . 按二元函数定义, X = (x, y)D. 可以唯一确定 实数 z , 从而确定了空间一个点 M (x, y, z). 三、二元函数的几何意义三、二元函数的几何意义 当X 在D中变动时, 点M (x, y, z)在空间中变 动,当 X 取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空 间中“织“出一片曲面. 即, 二元函数表示空间中一片曲面, D是该 曲面在 xy 面上的投影区域. X D M (x, y, z) y x z o 如 z = ax +by + c , 表平面. 注意, 三元函数 u = f (x, y, z)的定义域是 R3 的 一个子集. 三元函数无几何意义. 一、二元函数的极限一、二元函数的极限 12 多元函数的极限与连续 回忆一元函数的极限. 设 y = f (x), 当 x 不论是从 x0的左边 还是从x0的右边无限接 近于x0时, 对应的函数 值无限接近于数 A. 表示 如图 x y A 0 f (x) f (x) y = f (x) x0xx x x0 就是 0, 0. 当0 0, 0, 当 对应的函数值满足 | f (X) A | 0, 0, 使得当 要使 | f (x, y) 0 | , 只须 即 | f (x, y) 0 | 故 例2. 设f (x, y) = 证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在. 证: 由注2知,只须证明当X 沿不同的线路趋于 (0, 0)时,函数f (x, y)对应的极限也不同即可. 考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形. 如图 对应函数值 x o y 从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限 当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 . 请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0) 的情形. 沿 x 轴, y = 0. 函数极限 = 0 沿 y 轴, x = 0. 函数极限 = 0 但不能由此断定该二重极限为0 (注2). 设 z = f (X) = f (x, y), 在区域D上有定义. 则称 f (X) 在 X0 连续, X0 称为 f (X) 的连续点. 否则称 f (X) 在 X0 间断, X0 称为 f (X) 的间断点. X = (x, y) D, X0 = (x0, y0) D, 二、二元函数的连续性二、二元函数的连续性 定义2 若 f (X) 在 D 上每一点都连续, 则称 f (X) 在 D 上连续, 记为 f (X) C (D). 易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)间断(极限不存在), 每一点都间断. 注 ： 定义可推广到三元以上函数中去. 1.二元函数 f (X)在 X0 连续必须满足三个条 件. 在 X0 有定义, 在 X0 的极限存在, 两者相等, 2.多元连续函数的和, 差, 积, 商(分母不为 0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数. 如 f (x) = exy sin(x2+y), = e0 sin0 = 0. 3. 多元初等函数在它有定义的区域内都是 连续的.所谓多元初等函数是指以 x, y, z, 为自 变量的基本初等函数 f (x), (y), g(z), 以及常 函数, 经有限次四则运算和复合所构成的函数. 定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 “空洞“, 没 有 “裂缝“ 的连续曲面. 这里条件 “D 是一区域“ 是必要的. 若D 不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连 续曲面. 4.二元连续函数的几何意义: 例.设 D = (x, y) | x, y 均为有理数 R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点 上无定义的函数, 即 f (x, y) = 1, 当(x, y) D时, 无定义, 当(x, y) D时. 如图 x y z o 1 可知, (x0, y0) D, 但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面. 三、有界闭区域上二元连续函数的性质三、有界闭区域上二元连续函数的性质 性质1. 性质2. 有界闭域 , 连续 , 有界闭域 , 连续 , 性质3. 使 f (X0) = C. 这些定理都可推广到三元以上的函数中去. 有界闭域 , 连续 , 问,由性质3是否可得到 “根的存在定理“,如何表述? 例3. 解:原式 = = 0 1= 0 例4. 解:原式 = 例5. 解:原式 = 故 例5似可用下述方法算. 从而 (1) 函数定义域外, 它们不是点(x, y)趋于(0, 0)时的路径. 则必须包括 x 轴 和 y 轴这两条路径(在这个函数的定义域内). 应补充讨论: 当 (x, y)沿 x 轴(y = 0)趋于(0, 0)时, 有 (2) 当 (x, y) 沿 y 轴 (