复变函数-积分基本定理.ppt

12.2 积分基本定理 1 Cauchy积分定理 2 复合闭路定理 3 典型例题 定理12-2 (柯西-古莎定理) 如果f (z)是单连 说明: 该定理的主要部分是 Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础. 通区域 D上的解析函数，则对D内的任何一条 闭曲线C, 都有 12.2.1 Cauchy积分定理 解 因为函数 例1 计算积分 在 上解析, 所以根据Cauchy积分定理, 有 解 根据Cauchy积分定理得 例2 计算积分 因为和都在上解析, 所以 12.2.2 解析函数的原函数 1 原函数的概念 2 Newton-Leibniz公式 一. 原函数的概念 原函数之间的关系: 定义1 设f (z)是定义在区域D上的复变函数, 若存在D上的解析函数F(z)使得 在D 内成立，则称F(z)是f (z)在区域D上的原函数. 如果f (z)在区域D上存在原函数F(z), 则f (z)是 解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数. 定理1 设F(z)和G(z)都是f (z)在区域D上的原 函数, 则 (常数). 那么它就有无穷多个原函数, 一般表达式为 根据以上讨论可知: 证明 设F(z)和G(z)都是f (z)在区域 D上的 所以, 为常数. 原函数, 于是 如果F(z) 是f (z)在区域 D上的一个原函数， (其中C是任意复常数). 证明 可利用 定理2 设f (z)是单连通区域D上的解析函数, z0是D内的一个点, C是D内以z0为起点, z为终点的 分段光滑(或可Cauchy积分定理证明求长)曲线, 则积分 只依赖于z0与z, 而与路径 C 无关. Cauchy积分定理来证明. 设C1与C2都是以D内以z0为起点, z 为终点的 分段光滑曲线, 又不妨设C1与C2都是简单曲线. 如果 C1与C2除起点和 终点之外, 再没有其他重点, 则 是简单闭曲线, 根据Cauchy定理有 如果C1与C2除起点和 终点之外, 还有其他重点, 在D内再做一条以z0为起点, z 为终点, 除起点和终点之外, 与C1与C2没有其他 重点的分段光滑曲线则由已证明的情形, 如果 f (z)在单连通区域D内解析, 则f (z)在以 z0为起点, z为终点的D内的分段光滑曲线C上积分 , 积分值与积分路径无关，即可记为 于是确定了D内的一个单值函数 定理3 设f (z)是单连通区域D上的解析函数, z0和z是D内的点, 则 是 f (z)在D上的一个原函数 . 与微积分学中对变上限积分求导定理相同. 二. Newton-Leibniz公式 定理4 设f (z)是单连通区域D上的解析函数, F(z)是 f (z)在D上的原函数, z0和z1是D内的两点, 则 证明 因为 也是f (z)在D上的原函数 , 根据 其中 C为常数, 易见 说明: 有了上述定理, 复变函数的积分就可以用 与微积分学中类似的方法去计算. George Green (1793.7.14-1841.5.31) 自学而成的英国数学家、物理学家. 出色地将 数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题. 1928年出版了出版了小册子数学分析在电磁 学中的应用, 其中有著名的Green公式. 40岁进入剑桥大学学习, 1839年聘为剑桥大学 教授. 他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派, 其 中包括G. Stokes和C. Maxwell. Isaac Newton (1642.12.25-1727.3.20) 伟大的英国物理学家和数学家. 1661年, 进入剑桥大学三一学院学习. 大学毕业后, 在1665和1666年期间, Newton 做了 具有划时代意义的三项工作: 微积分、万有引力 和光的分析. 1687年发表自然哲学之数学原理. 1669年任剑桥大学教授, 1703年当选为皇家学 会会长, 1705年被英国女王授予爵士称号. 他还担 任过造币厂厂长. Nature and Natures laws lay hid in night, God said, “Let Newton be!” and all was light. Newton说: “我不知道世人怎样看我, 我只觉得 自己好象是在海滨游戏的孩子, 有时为找到一个光滑 的石子或比较美丽的贝壳而高兴, 而真理的海洋仍然 在我的前面未被发现.” 我是站在巨人的肩上. I. Newton 英国诗人A. Pope赞美Newton的 : Gottfried Wilhelm Leibniz (1646.6.21-1716.11.14) 德国数学家. 他还是外交家、哲 学家、法学家、历史学家、语言学 家和先驱的地质学家, 他在逻辑学、力学、光学、 数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方 面做了重要的工作. 1666年他撰写了一般推理方法的论文论组合 的艺术, 获得哲学博士学位, 并被任命为教授. 在 1672年因外交事务出使法国, 接触到一些数学家 , 开始深入地研究数学, 特别是1673年开始研究微 积分, 从1684年起发表微积分论文. 他是历史上 最大的符号学者之一, 所创设的微积分符号, 远 优于Newton的符号, 很多一直沿用至今. Leibniz多才多艺, 他在1671年左右制造出一 种手摇计算机, 甚至研究过中国古代哲学. Newton和Leibniz是微积分的奠基者, 从那时 起, 数学乃至几乎所有科学领域开始了新纪元. 12.2.2 复合闭路定理 定理1 设是多连通区域D内 函数, 那么 其中C和Ck(1kn)取正向. 如果 f (z)是 D上的解析 的简单闭曲线, 都在C 的内部,它们 边界的闭区域含于D内. 互不包含也互不相交, 并且以为 A1A2 A3 A4 C1 C2 E F G IH 证明 不妨设n=2. 作两条辅助线 (如图). 这样由作为边界G , 围成单连通区域. f (z)在G 所围的区域内解析, 由 当 n 为其它值时，可同样证明. 在公共边界(辅助线)上, 积分两次, 方向 相反, 积分值之和等于0. 所以 典型例题 解 显然函数 例1 计算积分其中G为包含圆周 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线. 在复平面有两个奇点0和1, 并且G 包含了这两个奇点. 在G内作两个互不包含也互不相交的正向 圆周C1和C2, 使得C1只包含奇点0, C2 只包含 奇点1.根据 , 解 显然C1和C2围成一 例2 计算积分 其中G 由正向圆周 和负向圆周组成.