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第三章 复变函数的积分 1CH1_ 1 复变函数积分的概念 一 复变函数积分的定义 二 积分存在的条件及其计算法 三 积分的性质 2CH1_ 设是复平面一条光滑（或按段光滑）的曲线， 如果选定的两个可能的方向中的一个作为正方向(或 正向)，那么我们可以将理解为带有方向的曲线，称 为有向曲线，如果 是一条以与为端点的有向曲 线，如果从到为的正向，则称从 到 方向 为的有向曲线称为反向曲线，记为除特 别声明外，有向曲线的正向总是指起点到终点的方 向，对一简单闭曲线总是指逆时针方向。 一 复变函数积分的定义 3CH1_ 在区域定义设函数有定义，为 内一条以为起点为终点的光滑的有向曲线， 如果将曲线从起点到终点依次任意分成个小弧段， 分点为 在每个小弧段任取一点作和式 记为小弧段小的弧长， 趋向于零时， 当 如果对的无论怎样分法及在小 弧段上的无论怎样取法，和式有唯一的极限， 则称 4CH1_ 极限值为函数在上的积分，记作即 如果是闭曲线，则我们将沿闭曲线的积分记为： 5CH1_ 上连续，如果函数在区域 即为上的连续函数。设 设光滑曲线是由方程： 确定，其正向是从起点到终点的方向，其中为 起点参数， 是终点的参数， 且 由于 二 积分存在的条件及其计算法 6CH1_ 所以 由线积分存在定理得，当上面的两个和式的极 限都是存在的，且有 表明： 1）当是连续函数， 是光滑曲线，则 一定存在；7CH1_ 2）计算复函数的积分可以转化为计算两个平面上 对坐标的曲线积分。 根据对坐标的曲线积分的计算法，有 因此 8CH1_ 如果是分段光滑的有向曲线，即是由几段光 滑的有向曲线依次首尾相接而构成的，则 我们规定： 例1 1）从原点沿曲线 到点 2）从原点沿曲线 到点 3）从原点沿实轴到点1，再平行于虚轴到点 计算积分其中 为 9CH1_ 解 1） 2） 3）从到 从到 10CH1_ 例2 1）从原点沿曲线 到点 2）从原点沿曲线 到点 3）从原点沿实轴到点1，再平行于虚轴到点 计算积分其中 为 解 1） 2） 11CH1_ 3） 从到 从到 12CH1_ 例3设为正向圆周 计算： 1） 2） 解 利用与格林公式， 1） 2） 原式 原式 13CH1_ 例4设为正向圆周：计算 其中，为正整数。 解 设的方程为从到 则 因此，当时， 14CH1_ 当时， 即 15CH1
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