复合材料力学第六章.ppt

第六章 层合板的弯曲、屈曲 和振动问题 6-1 基本假定 6-2 层合板的弯曲、屈曲和振动问题的基本微分方程 6-4 各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲 6-5 各种特殊简支层合板的振动问题 6-3 各种特殊层合板在横向均布载荷作用下的弯曲 6-1 引言和基本假定 一.引言 本章的目的主要是论述层合板物理方程中所出现的三 种耦合刚度： 拉伸和弯曲耦合刚度 Bij 拉伸和剪切耦合刚度 A16,A26 弯曲与扭转耦合刚度 D16,D26 对层合板弯曲、屈曲和振动性能的影响, 及其给基本微 分方程带来的复杂性，特别是通过某些重要结果来讨 论： 对称角铺设层合板的D16,D26 的重要性； 反对称正交铺设和反对称角铺设层合板的 Bij 的作用。 1、直法线线假定：（Kirchhoff 克希霍夫） 层层合板变变形前垂直于中面的法线线，在变变形后 ， 仍 垂直于中面，而且长长度不变变 3、变变形很小，认为认为 是小挠挠度理论论（弯曲问题问题 ） 认为认为 是小应变应变 理论论（屈曲、振动问题动问题 ） 4、忽略体积积力 2、板很薄：很小，忽略不计计。 二.基本假定 一、弯曲问题的基本微分方程： 1、几何方程： 注意：下标标“0”表示中面位移 6-2 层合板的弯曲、屈曲和振动问题 的基本微分方程 2、物理方程： 今后为方便起见，将下标“0”去掉，位移全是中面位移。 3、平衡方程（没有体积积力） 写成简简写形式： 将几何方程代入物理方程，用中面位移表示平 板内力。再把内力表达式代入平衡方程就得到 层层合板弯曲问题问题 的基本微分方程（简简写形式） 4. 边界条件： 每个基本微分方程组是四阶的，积分常数为 四个，所以每个边界需给出四个边界条件。 通常分简支边和固支边，即使都是简支边或 固支边，又由于中面位移或内力不同条件给出不 同的边界条件. 简支边：S 位移边界条件 半位移半内力 内力边界条件 半内力半位移 S1 S2 S3 S4 n t 固支边： (C) 法、切向都可动 法向独立，切向可动 法向可动，切向独立 法、切向独立位移 二、层合板的屈曲问题基本微分方程 几何、物理与弯曲问题相同 C1 C2 C3 C4 平衡方程： 其中为为已知外加平面内膜内力载载荷值值 变变分符号 屈曲前平板保持平的，当外载载荷达到某一临临 界值时值时 ，层层合板产产生微弯状态态，即小变变形范围围 。满满足平衡方程。 像弯曲问题问题 推导导基本微分方程那样样，将几何方程代 入物理方程，再代入平衡方程，就可得以下方程： 前两个基本微分方程形式上与弯曲的基本微分 方程中的前两个完全一样，只要在位移导数前 面加一个变分符号就行了。因为第三个平衡方 程就不同。为此只有第三个基本微分方程形式 上有一些不同， 边边界条件： 简简支边边(S) 固支边边： 同上一样样 S1 S2 S3 S4 三、振动问题基本微分方程 平衡方程： 与屈曲问题平衡方程相比较，只有第三个 平衡方程右端项不同，振动问题有一个惯性力 项。这里不再重复，包括边界条件。 四. 求解方法 1、解析方法 满足边界条件下,三个微分方程联立求解：在特定 的边界条件下可采用分离变量法和双三角级数求解 。（简化条件）正交异性. 2、近似能量法 Rayleigh-Ritz法, Kalekin法 3、有限差分法 有限元法 一、特殊正交各向异性层合板 只需解一个挠度的微分方程： 如同各向同性板的弯曲微分方程的求解，采用双级数法。令: 可以满足上微分方程和简支边界条件. 对于均布载荷: 不必考虑面内边界有关u、v 的条件。 6-3 各种特殊层合板在横向均布载荷 作用下的弯曲 将w代入微分方程，并对比系数可得： 一旦w确定下来，则由几何方程可得应变 和 。由物理方程的 应力应变关系可得应力: 有正轴应力分量可以考虑强度问题。 二、对称角铺设层合板 由于 ，仍然只需考虑一个微分方程 由于 ，微分方程中出现对x、y的奇次微分项。分离 变量的双三角级数解无法满足微分方程，变量实际上不可分离。采用 近似的能量法：Rayleigh-Ritz 法 设一挠度函数 满足几何边界条件，自然边界（力） 条件不一定满足。则层板的总势能可用挠度函数的微分（即曲率）表 示为： 其中：P w 项是外力功，其余项是板的应变能。位移函数w展开，待定 系数 则根据最小总势能原理，w满足平衡的条件是： 的存在增加了挠度，说明弯扭耦合刚度 降低了板的 抗弯刚度。 根据m、n取的项数，可得一联立方程组。解出 ，则w解出。 当m=17，n=17（共49项）时，板中央的挠度为: 如果忽略 的作用，把板看作是特殊正交各向异性板，则 两者误差约24%。 设: 一. 对称角铺设层合板 微分方程为： 6-4 各种特殊层合板在面内压缩载荷 作用下的屈曲 简支边界条件为： D16,D26的存在，无法得到封闭解，变量不可分离，同样可以由Rayleigh Ritz法求解： 设屈曲位移为： 满足位移边界，不满足自然边界. 代入总势能表达式和运用最小势能原理： 由 为w满足平衡的条件。 在 和 时(Boron/Epoxy)对三种 铺设所得解如图。 （1）正交各向异性解 （2）20层 对称角铺设。同上 （3）20层为， 考察弯扭耦合影响载荷：x方向均 匀压缩Nx 可见弯扭耦合的影响与特殊正交各向异性解比较，弯扭耦合的影响 降低了屈曲载荷（理论近似解与实际的比较是满意的，说明了近似 解的可靠性）。 208060400 实验点： 20层 20层 （1） （3） （2） 12 20 16 24 正交各向异性解 二, 反对称正交铺设层合板 考察 的影响 由于 ，屈曲微分方程是联立的。 对于S2简支边界条件 选取以下位移变分函数 设: 并令其满足微分方程得： 需求最小值在m，n为整数时。 （1） （2） （3） （1）（2）解出 表示代入（3）得存在非零解的条件是： 式中 对 的石墨/环氧反对称层板 的解如下图. b a B11=0 2 层数 4 6 02025051015 05 10 15 20 25 30 35 板的长宽比a/b （