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第六讲 MATLAB在数学建模中的应用 一、在线性规划中的应用 1、数学原理： 线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为 成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业 、教育、商业和社会科学等许多方面。 线性规划的标准形式是 线性规划的标准形式要求目标函数最小化， 约束条件取等式，变量非负，不符合这几个 条件的线性规划要首先转化为标准形式。 线性规划的求解方法主要是单纯形法（simple Method),此法由Dantzig于1947年提出，以后经 过多次改进， 2、线性规划的MATLAB求解：linprog函数 数学模型 ： 其中：f，x，b，beq，lb，ub为向量， A，Aeq为矩阵。 使用形式： x=linprog(f,A,b) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x,fval=linprog() x,fval,exitflag=linprog() x,fval,exitflag,output=linprog() x,fval,exitflag,output,lambda=linprog() 注：以上几种形式在使用时根据具体的模型 适当选用。每一种形式都有特定的涵义。可 查有关书籍 3、实例 例1. 投资问题：某单位有一批资金用于4个 工程项目的投资，用于各个工程项目得到 的净收益（投入资金的百分比）如表所示 ： 工程项目ABCD 收益（% ） 1510812 由于某种原因用项目A的总投资不大于其他各各项 目的和，用用项目B和C的投资要大于项目D的投 资。试确定使该单位收益最大的投资分配方案。 分析问题建立模型：用x1,x2,x3,x4分别代表 用于项目A、B、C、D的投资百分数，由于 各项目的投资百分数之和为100%，所以 x1+x2+x3+x4=1 根据题意可建立下面的数学模型： 把它转化为标准形式为 首先输入下列系数： f=-0.15;-0.1;-0.08;-0.12； A=1 -1 -1 -1;0 -1 -1 1； b=0;0； Aeq=1 1 1 1； beq=1； lb=zeros(4,1)； 调用linprog函数 x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb) 结论：4个项目的投资百分数分别为0.50、0.25、0.00 和0.25时可获得最大的收益，最大收益为13% 二、其它应用 动物的繁殖的规律问题：某农场饲养的某 种动物能达到的最大年龄为15岁，将其分 为三个年龄组：第一组05岁，第二组 610岁，第三组1115岁。动物从第二个 年龄组开始繁殖后代 第二个年龄组的动物在其中年龄段平均繁殖4个后 代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后 代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入 下一年龄组的成活率分别为0.5和0.25.假设农场现 有的三个年龄组的动物各1000头， 根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值 k,有 其中是莱斯利矩阵L的唯一的正特值 请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的k 值 计算5年后、10年后、15年后各年龄段的动 物数量。20年后农场三个年龄段的动物情况 会怎样？ 以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动 物数量可以用一个向量X(k)=x1(k) x2(K) x3(k)T为第 k个时间段动物数分布向量。 问题分析：由题设，在初始时刻05岁、610 岁、1115岁的三个年龄段动物数量分别为 x1(0)=1000，x2(0)=1000，x3(0)=1000 如果每五年平均向市场供应动物数 c=s s sT，在20年后农场动物不至 于灭绝的前提下，c为多少为好？ 当k=0,1,2,3时， X(k)表示现在、五年后、十年后 、十五年后的动物数分布向量。根据第二年龄段 和第三年龄段的繁殖能力，在第k个时间段，第 二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第 三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3个后代。由 此得第一个年龄组在第k+1个时间段的数量如下 ：x1(k+1)=4x2(k)+3x3(k) 同理，根据第一年龄组和第二年龄 组的存活率，可得等式 X2(k+1)=0.5x1(k) X3(k+1)=0.25x2(k) K=0,1,2,3 可得数学模型如下： 或写成矩阵形式：X（k+1)=LX(k) 其中 是莱斯利矩阵 由此得 X（k+1)=Lk+1X() 程序和计算 X0=1000;1000;1000 A=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0 X1=A*X0 X2=A*X1 X3=A*X2 X4=A*X3 为了计算L的特征值，输入下面的命令eig(A)得到特征值为 ans = 1.5000 -1.3090 -0.1910 这说明只有一个正特征值1.5 为了验证 运行下面程序 ； x=1000;1000;1000;d1=1.5; A=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0; y=A*x; y1=d1*x; k=1; while max(abs(y-y1)0.1 x=y; y=A*x; y1=d1*x; k=k+1; end x,k 可知当k=285时，有结论 x0=1000;1000;1000;d1=1.5; A=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0; x1=A*x0,x2=A*x1,x3=A*x2,x4=A*x3 x1 =7000 500 250 x2 =2750 3500 125 x3 =14375 1375 875 x4 =1.0e+003 * 8.1250 7.1875 0.3438 进一步思考 当k=285时x=1.0e+053 *2.9078 0.9693 0.1615 这说明多年以后，动物数量是大得非常惊人。 从计算结果可以看出，如果没有其他原因，可估计 农场的动物总量会逐步增加。 如果每年向市场供应动物c=s s sT,分析动物数分布 向量变化的规律可知 X(1)=AX(0)-c X(2)=AX(1)-c X(3)=AX(2)-c X(4)=AX(3)-c X()=AX()-(A3+A2+A+I)c 考虑20年后动物不灭绝，应有(4)0 即 (A3+A2+A