东南大学几何与代数第五六章习题解析总复习.ppt

几何与代数几何与代数 主讲主讲: : 王小六王小六 集体答疑通知 时间：1月 11 日，上午9:00-11:00； 下午1:00-4:45. 地点：教八400(西侧楼梯口附近) 本班答疑 16周周一下午3-4节： 教四教师休息室 16周周三全天，周四中午和下午，周五上 午：数学系525 同时欢迎网上答疑：QQ群, 课程中心 第五章 习题解析 P203P203选择选择3: 3: A为对角阵，意味着和A相似 的矩阵是可相似对角化的。 二重特征值1对应着2个线性无关无关的特征向 量， r(1r(1 E-E-A A) = 3-2=1, ) = 3-2=1, 据此可排除(B,C,D) (B,C,D) P204P204选择选择6: 6: 选择(D) tE-A可看成f(A), f(x)= t x 或者(t x)k. 若A和B相似，则(tE-A)k与(tE-B)k也是相 似的. P204 T1(3):P204 T1(3): | | E-A|=E-A|= 0 0 -10 0 -1 0 0 -1 0-1 0 0 -1 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 = = 按照第一行或第一列展开按照第一行或第一列展开 或者或者 = = r1 r4r1 r4r4 + r4 + r1 r1 -1 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0-1 0 0 -1 0 -1 0 0 0 0 -10 0 -1 - - = = 2. A = = =3, a=1 4. A*的特征值是 0-1|A| a an nx xn n + + a a 1 1 x x + + a a 0 0 + +b b1 1x x -1-1+ +b bm m x x -m-m ( (x x) ) = = ( (A A) )= = a a n nA A n n + + a a 1 1 A A + +a a 0 0 E E + +b b 1 1A A -1-1+ +b bm m A A -m-m A A = = ( (A A) ) = = ( ( ) ) = 1.如果对应着两个线性无关的特征向量 1, 2 , 则需要对其进行组合k11+k22, 其中k1,k2不全为零.(作业批注k1k20有误) 5. A 1 1 1 T = 0 1 1 1 T 6. A2 3A + 2E = O 得 2 3 + 2 = 0 从而 = 1 或者 2 举例： A = E 或者 2E 7. A2 = E 得不到 A=E A2 = E = A2 E = O A A = = = 2 2 1 = 0 1 = 0 = = = 1 1 假设 -1. 则 |A+E| 0. 则 A+E 可逆 . 而A2 E = O意味着(A+E)(A E)=O . 两边同乘 (A+E)-1 ，则得结果. 10.P1-1A1P1=B1, P2-1A2P2=B2 = P1 P2 A1 A2 P1 P2 = B1 B2 -1 P205 14.1, 2 线性无关！ 15.有k (k1)重特征值也有可能线性相关！ 只要k 重特征值对应k个线性无关的特征 向量即可！ 再次提醒：对角阵 的对角元一定要与 相似变换矩阵 P 的列向量对应！ 18.P-1AP= = A = P P-1 19. 只是利用迹和行列式相同，得不到结果！ 还需利用“特征值相同”！ 15. (5) 若用对角线法则计算|E-A|,易分解因式 P206 T20: P206 T20: 可联系T14 P206 T22:P206 T22: “ T ”类型问题 (,为n维列向量) 联系联系 P207: T32 P207: T32，T33T33 复习1. A= T = A2010 = ( T)2009 T 插曲：计算An 还可用：相似对角化； 另外，有时候A2 或A3 具有一 些迭代性质也利于简化计算. 复习2. r( T) r(), r( T) 1. 又因为T不是零矩阵，所以r(T) =1 特别的， 对于非零， r( T) =1. 所以，当 n1时，det( T)=0. 例.对于非零n(n1)维列向量, , 计算A= T 的特征值和特征向量. 因为 A = T = (T) = (T), 所以是一个对应于特征值 1 1 = T 的特征向 量. 另外, Ax= 的基础解系中共有 n-r(A) = n-1 个线性无关的解向量1 ,2 ,n-1 .它们 是对应特征值 2 2 = =0 的特征向量. 分析：可算得A2 = T A，从而知道A的 特征值只能为 T 或者0(或者直接计算). 当T 0 时， 可得A有n个线性无关的特 征向量，从而A可以相似对角化,其相似于 T 0 0 类似例题 A= T ， 为实的非零列向量 注意，A为实对称矩阵，一定可以相似对 角化，相似于对角阵 T 0 0 P207 第32题 A = pT + qT P207 第33题 B = A 1T 例例 若若A A=(=( 1 1 , , 2 2 , , n n ) )是是n n阶正交矩阵阶正交矩阵, , 则则 B B= = 1 1 1 1 T T + + 2 2 2 2 T T + + + r r r r T T (1(1r r n n) )的的 特征多项式是特征多项式是? ? 习题五(B) 26 注意(1) Q和是相伴相随的； (2) 正交化时，只需对同一特征值的 特征向量进行正交化； (3) 不要忘记单位化. 27 此题仅利用迹和行列式相等得不到结果 . 28p1p3 p2p3 p3P =(p1,p2,p3)A=P P-1 单位化 QA=QQT 29 类似28，行列式=0意味着一个特征值=0 30 A=QQT = r(A)=r() A2=QQT QQT =Q2QT = r(A2)=r(2) 又因为 r() = r(2)，所以r(A) = r(A2) 第六章 习题解析 P238P238填空填空4:4: A A可逆可逆= = AxAx= = 只有零解只有零解 = = 当当x x 时，时，Ax Ax = = x x T T (A(A T T A)xA)x = |Ax| = |Ax| 2 2 0 0 P238P238填空填空5:5: 方法方法3 3 配方配方 方法方法1 1 写出实对称阵写出实对称阵A, A, 顺序主子式大于顺序主子式大于0 0 方法方法2 2 求求A A的特征值；的特征值； 例例假设二次型假设二次型 f f( (x x 1 1, ,x x2 2, ,x x3 3 )=)=x x 1 1 2 2 + +x x 2 2 2 2 + +axax 3 3 2 2 +4+4x x 1 1x x2 2 -2-2x x 2 2x x3 3 1. 1. 求一可逆线性变换求一可逆线性变换x x=C=Cy y将将f f化成标准形；化成标准形； ( (配方法更适合这题配方法更适合这题) ) 2. 2. 求求f f的矩阵的矩阵A A. . 问：当参数问：当参数a a取什么值时，取什么值时，A A 的特征值大于零？的特征值大于零？( (方法很多方法很多) ) P238P238填空填空6:6: f(x,yf(x,y) = ) = ( (a+ba+b 2 2 ) )x x 2 2 - - ( (bx-ybx-y) ) 2 2 + + 1. 1. 令可逆变换令可逆变换 x x = = x x, , bxbx- -y y = = y y, , 则则 f(x,yf(x,y) = ) = ( (a+ba+b 2 2 ) )xx 2 2 y y 2 2 + + 1. 1. 其在其在(0,0)(0,0)达到极值达到极值 a+ba+b 2 2 00 P238P238填空填空10:10: 椭球面：椭球面：特征值都大于零，正惯性指数特征值都大于零，正惯性指数 =3=3， 正定矩阵；正定矩阵； 柱面：柱面：( (虚虚) )椭圆柱面或者双曲柱面，有椭圆柱面或者双曲柱面，有 一个共性：秩为一个共性：秩为2 (2 (特征值两正一零或一正特征值两正一零或一正 一负一零一负一零) ) P238P238选择选择(2): (2): 类似例题：问下列哪些矩阵是等价的，相似的 ，合同的？ 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 -1 1 0 0 0 (4) (5) (3)(2)(1) 1 1 0 1 (6) 总结总结: : 假设假设A A与与B B同阶同阶 A A与与B B等价等价秩相等秩相等 A A与与B B相似相似 秩相等秩相等 行列式相等行列式相等 迹相等迹相等 特征值相等特征值相等 A A与对角阵与对角阵 相似相似 k k重特征值有重特征值有k k个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 A A与对角阵与对角阵 相似相似 A A为实对称阵为实对称阵 A A与对角阵与对角阵 相似相似特征值互异 特征值互异 实对称矩阵实对称矩阵 A A与与B B相似相似 特征值相同特征值相同 正确答案正确答案: : 等价等价: (1),(4),(5); : (1),(4),(5); 以及以及 (2),(3),(6)(2),(3),(6) 相似相似: (1)(5); : (1)(5); 合同合同: (1)(4)(5); : (1)(4)(5); 实对称矩阵实对称矩阵 A A与与B B合同合同 正负惯性指数相同正负惯性指数相同 正负特征值个数相同正负特征值个数相同 一个矩阵一个矩阵A A若与若与对称阵对称阵B B合同合同, , 则则 A A必为对称阵必为对称阵; ; 特别地特别地, , 一个矩阵一个矩阵A A若与若与对角阵对角阵 合同合同, , 则则A A必为对称阵必为对称阵; ; 据此据此, , 可排除可排除(6)(6)与其他矩阵合同与其他矩阵合同 的可能性的可能性 C C选项如何排除？选项如何排除？取特殊取特殊 x x=(0,0,1)=(0,0,1) T T 如果一个方程的形式为 x x2 2 + + ayay + +bzbz + + c c = 0, = 0, 其中其中a, b a, b 不同时为零，那么它一定不同时为零，那么它一定 表示一个表示一个抛物柱面抛物柱面. . P239P239选择选择(10):(10): P238P238选择选择(5):(5): P239第3题：即使实矩阵A不是对称矩阵, xTAx 也是一个二次型，其对应的二次型 矩阵为 (A+AT) . xTAxxT (A+AT)/2 x xTAx + 直接分析 1 2 xTAx 1 2 =xTAx + 1 2 (xTAx)T 1 2 例题例题：设A= ，若 xTAx=0对任意 的n维列向量x成立, 则参数 a,b,c,d 需要 满足什么条件？ a b c d xTAx = xT x=0 a (b+c)/2 (b+c)/2 d 结论结论：假设A是n阶实对称阵，则 xTAx=0对任意的n维列向量x成立 A=O 结论结论：假设A,B是n阶实对称阵，则 xTAx= xTBx对任意的n维列向量x成立 A=B 注注: : 填空题中可直接使用上面的结论填空题中可直接使用上面的结论, , 证证 明题中视情况是否需要证明明题中视情况是否需要证明. . 1(4 ) 1 2 4 0 3 5 0 0 6 1 1 2 1 3 5/2 2 5/2 6 4P1TAP1=B, P2TCP2=D = P1 P2 A C P1 P2 = B D T P239 4反之不成立. 需举反例. 7 注意要求是正交变换. 第(2)题 特征值互异，特征向量自然正交. 0 0 0 0 1 0 0 0 4 x=Q1y y22 + 4y32 4 0 0 0 1 0 0 0 0 x=Q2y 4y12 + y22 8 (1) x3=y3 不能丢； (2) 代换两次后，需复合，最后应写成 x=Pz的形式 10 = 1 0 0 0 2 0 0 0 5 与二次型对应 A = QQT = Q1/2 1/2 QT( 最好交代1/2) = Q1/2 QTQ 1/2 QT = (Q1/2 QT) (Q1/2 QT) P240第11题: xT(ATA)x 正定 x, xT(ATA)x 0 x, (Ax)TAx 0 x, |Ax|20 x, Ax Ax =没有非零解 r(A) = 未知元的个数 = A的列数 P240第12题: 方法1: aii = ei AeiT 0, ei =0,0,1,0,0 第i个分量 方法2: A = PTP. 记 P = (pij )nn . 则 aii = p1i p1i + p2i p2i + pni pni A = PTP 的另一个应用： 例题.设B为一个 n 阶实对称阵，A是n 阶正定矩阵，则AB或BA的正负特征值 的个数分别等于B 的正负惯性指数. AB = PTPB (PT )-1 ABPT = PBPT AB与PBPT 相似，所以它们具有相同的 特征值。 PBPT与B合同，因此它们的正负惯性指 数相同。从而结论得证。 P240第14题: 此题可直接用定义来证明. 请注意在用定义定义说明一个矩阵C是正定时 ，需要强调x x是非零非零的向量. 因为x=x= 时， x xT T CxCx = 0 = 0 ! 下面对矩阵ATA做些讨论. P240第13题: “负定” P240第14题: 注意矩阵ATA不是正定阵： xT AT Ax =|Ax|2 0 (非负定) 设mn矩阵A的秩为r, 则由一已知结论可 得 r(ATA) = r(A) = r. 则 ATA 一定有r 个 正的特征值, 剩余 n-r 个特征值均为0. 1 1 0 0 r个1 另外，ATA 与下列矩阵合同 1 1 0 0 r个1 事实上，设实对称矩阵B的秩为r. 若 xTBx 0, n维列向量x， 则 B 一定有r 个正的特征值, 剩余 n-r 个特 征值均为0. 另外，B与下列矩阵合同 P240第15题: 可先从特征值的角度说明 A* 和 A-1 是正定的，然后利用下面例题的 证明思路，或利用P239习六(B)第4题的结 论. 6.1 6.1 二次型二次型 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例题例题. . 设设A A, , B B都是实对称矩阵都是实对称矩阵, , MM = = A A O O O O B B , , 证明证明: : MM正定正定 A A, , B B都正定都正定. . 证明证明: (: () ) MM正定正定 x x, , y y , , x xT T AxAx = ( = (x x T T, , T T ) )MM x x 0, 0, y y T T ByBy = ( = ( T T , , y yT T ) )MM y y 0, 0, A A, , B B都正定都正定. . 6.1 6.1 二次型二次型 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例题题. . 设设A A, , B B都是实对称矩阵都是实对称矩阵, , MM = = A A O O O O B B , , 证明证明: : MM正定正定 A A, , B B都正定都正定. . 证明证明: (: () ) 设设P P 1 1 APAP = = MM正定正定 1 1 , , , , s s, , 1 1 , , , , t t 0 0 1 1 s s , , Q Q 1 1 BQBQ = = 1 1 t t , , 则则 P P O O O O Q Q 1 1 A A O O O O B B P P O O O O Q Q = = 1 1 s s 1 1 t t A A, , B B都正定都正定. . 6.1 6.1 二次型二次型 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例题题. . 设设A A, , B B都是实对称矩阵都是实对称矩阵, , MM = = A A O O O O B B , , 证明证明: : MM正定正定 A A, , B B都正定都正定. . 证明证明: (: () ) 设设A A为为s s阶的阶的, , 则当则当i i s s时时, , MM正定正定 MM的顺序主子式的顺序主子式 0 0 A A, , B B的顺序主子式的顺序主子式 0 0 A A B B O O O O MM的的i i阶顺序主子式阶顺序主子式 = = A A的的i i阶顺序主子式阶顺序主子式 当当i i s s时时, , MM的的i i阶顺序主子式阶顺序主子式 = |= |A A| | B B的的i i s s阶顺序主子式阶顺序主子式 A A, , B B都正定都正定. . 6.1 6.1 二次型二次型 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例题题. . 设设A A, , B B都是实对称矩阵都是实对称矩阵, , MM = = A A O O O O B B , , 证明证明: : MM正定正定 A A, , B B都正定都正定. . 证明证明: (: () ) 因为因为A A, , B B都正定都正定, , P PT T APAP = = E E, , Q Q T T BQBQ = = E E, , 于是于是 P P O O O O Q Q T T A A O O O O B B P P O O O O Q Q = , = , E E O O O O E E 所以存在可逆阵所以存在可逆阵P P, , Q Q使使 因而因而MM正定正定. . 其中其中 可逆可逆, , P P O O O O Q Q 6.1 6.1 二次型二次型 第六章第六章 二次型与二次曲面二次型与二次曲面 例例题题. . 设设A A, , B B都是实对称矩阵都是实对称矩阵, , MM = = A A O O O O B B , , 证明证明: : MM正定正定 A A, , B B都正定都正定. . 证明证明: (: () ) 因为因为A A, , B B都正定都正定, , A A = = P P T T P P, , B B = = Q Q T TQ Q, , 所以存在可逆阵所以存在可逆阵P P, , Q Q使使 因而因而MM正定正定. . 其中其中 可逆可逆, , P P O O O O Q Q 于是于是 P P O O O O Q Q T T P P O O O O Q Q = = A A O O O O B B , , P240 17 P240 17 题题假设A是正定矩阵，B是实对称 矩阵，则存在可逆阵P使得PTAP, PTBP都 为对角阵. A正定= 存在可逆P使PT AP=E 对于PT BP, 其是对称的, 所以存在正交 阵Q使得 QT (PT BP)Q= ， 是对角阵 而QT (PT AP)Q =QTEQ=E = 可取M=PQ 例题(06-07试题).若都是可逆的 都是正定 也是正定矩阵 实对称矩阵，且 矩阵，证明： 分析：可以利用“化成对角阵”的方法， 用的其实是“化归思想”. P240 第20题：注意不必求出正交变换 矩阵Q. 设实对称阵A 的特征值为 1 1 , 2 2 , , n n . . 则二次型则二次型 f=f=x x T T AxAx 在条件在条件 x x 1 1 2 2 +x +x 2 2 2 2 +x +x n n 2 2 =1 =1 下的最大值一定是下的最大值一定是maxmax 1 1 , 2 2 , , n n , , 最小值一定是最小值一定是minmin 1 1 , 2 2 , , n n . . 事实上，一定存在正交矩阵Q使得 在可逆线性变换x=Qy下，二次型化为 我们可以总结： f = f = 1 1 y12 + 2 2 y 22+ n n yn2 且条件x x 1 1 2 2 +x +x 2 2 2 2 +x +x n n 2 2 =1 =1在正交变换下 不变，即仍然成立 y y 1 1 2 2 +y +y 2 2 2 2 +y +y n n 2 2 =1. =1. 从而有， f maxmax 1 1 , 2 2 , , n n ( (y y 1 1 2 2 +y +y 2 2 2 2 +y +y n n 2 2 ) ) = max max 1 1 , 2 2 , , n n , , 以及， f minmin 1 1 , 2 2 , , n n ( (y y 1 1 2 2 +y +y 2 2 2 2 +y +y n n 2 2 ) ) = min min 1 1 , 2 2 , , n n , , 且容易验证上述最大最小值可以取到. （注意条件： x x 1 1 2 2 +x +x 2 2 2 2 +x +x n n 2 2 =1=1 ） 联想 例题.设n阶实对称阵A 的特征值为 1 1 , 2 2 , , n n . . 证明： min x x T T Ax/|x|Ax/|x| 2 2 : :xx = minmin 1 1 , 2 2 , , n n , , max x x T T Ax/|x|Ax/|x| 2 2 : :xx = maxmax 1 1 , 2 2 , , n n , , 其中其中x x为为n维列向量. P241 第23题(6) 令 y = y+1 P241 第29题 投影曲线方程需联立 z=0 P242 第35题 可逆线性变换也可化为标准形， 看出曲面类型. P242 第37题 可以求出二次型部分的矩阵特 征值 2, k, 2-k, 据其正负讨论曲面类型； 或者用配方法化为标准形讨论. P242 第33题 不要忘记“正交化” 本门课程的内容体系 本门课程：研究矩阵的理论 第二章第二章 矩阵矩阵 矩阵的定义和运算矩阵的定义和运算； 可逆矩阵可逆矩阵:特殊矩阵; 分块矩阵分块矩阵:为了更方便的运算; 初等变换初等变换:矩阵之间的一种变换； 第五章第五章：相似变换(方阵) 第六章第六章：可逆变换(实对称阵) 特征值 惯性指数 矩阵世界，矩阵世界， 纷繁复杂，纷繁复杂， 如何找到不变的永恒如何找到不变的永恒 秩 第四章第四章：向量向量空间是一种特殊的矩阵空间 寻找向量空间的 极小生成元(基) 寻找向量组的极 大无关组 研究向量组中向 量间的关系（线 性相关性） 有了基, 就有 了坐标； 定义内积, 引入正交 的概念 构造一组标准 正交生成元 两个 应用 刻画矩阵A的列空间(列向量生成的子空间) 刻画Ax=的解空间，即寻找基础解系等 第三章第三章 几何空间几何空间(R3): 可看作是第四章的 铺垫，也可看作一种特殊的向量空间。 第一章第一章 行列式和方程组行列式和方程组: 它们是研究矩阵 的工具。很多问题会被转化为求行列式(特别 是遇到方阵时)或求解方程组的问题。 期末不作要求的内容 3.5 空间直角坐标变换 4.6 线性方程组的最小二乘解 5.4 矩阵的Jordan标准形 Matlab 总复习 (难题，典型题) 1. 化归的思想 把一般的矩阵 对角阵 (相似，合同) 把一般的矩阵 等价标准型 例题.证明：给定一个n n矩阵A,一定存 在一个可逆阵P和一个矩阵C，使得 A = PC, 且 C2 =C. 提示：可联系习题二(B) 29，28 分析：设 M, N 为可逆阵使得 A=MBN, 其中 B为A的等价标准形. 不难验证 B2 = B. 令 C= N-1BN, P=MN, 命题得证. 2 “ T ”类型问题 (,为n维列向量) 参见 P206 第22题 例例. . 设设A A与与E E A A都可逆都可逆, , G G = ( = (E E A A) ) 1 1 E E, , 求证求证G G也也 可逆可逆, , 并求并求G G 1 1 . . 证明证明: : G G = ( = (E E A A) ) 1 1 ( (E E A A) ) 1 1( (E E A A) ) = = ( (E E A A) ) 1 1 ( (E E ( (E E A A) ) = ) = ( (E E A A) ) 1 1 A A G G 1 1 = = A A 1 1 ( (E E A A) = ) = A A 1 1 E E. . 3. 会求逆矩阵 注注：您是如何算函数 (1-x)-1 -1 的倒数？ 方法很多！ (3) (A+kE)(A+(1-k)E)=(2+k-k2)E (A+kE)A+(1-k)E=E (2+k-k2) P87 15题. 已知 A2+A-2E=O 当 2+k-k2 = 0时如何？ 此时 k=2 (k要求是自然数)， 则A+2E可逆吗 由 A2+A-2E=O 得 (A+2E)(A-E)=O 若A+2E可逆， 则A=E，从而A+2E=3E 所以 (A+kE)-1 = E 1 3 4 熟悉矩阵运算 (1)如矩阵A的各行元素之和等于零，能 得到什么？ 如矩阵A的各列元素之和等于零，能得 到什么？ (2) 联系A与A*：AA*=|A|E A与B相似，A可逆，则A*与B*相似. A*的秩与A的秩之间的关系(习题二(B)31题 ). (3) 设A,B是n阶正交矩阵，并且|AB|=-1 ，证明|A+B|=0. 证：不妨设|A|=1，|B|=-1. 则|BT|=-1. |A+B|BT|=|ABT+BBT|=|ABT+E| =|ABT+AAT| =|A(BT+AT)| =|A|BT+AT|=|BT+AT|=|A+B| (4) 设A为mn矩阵，B为nm矩阵，则有 tr(AB) =tr(BA) 特别地， tr(T )=tr(T ) (5) 一般来说矩阵乘法不可交换，但 当 AB=E 时， 则自然有 AB =BA. 例题(09-10-2几代最后一题) 假设A, B都是nn矩阵，若存在不为零的 数 x,y使得AB=xA+yB, 证明：AB=BA. 分析： AB-xA-yB = O (A-yE)(B-xE) = xyE (6)熟悉一些分块矩阵的运算 (a) 若 AB=O, 则 A(b1,b2,bn) =(, ). 从而 Abi= , i =1, 2, , n; 也就是说B的列向 量是Ax= 的解. 若bi不为零向量，还可以 作为A的特征向量(前提是A为方阵). (b) 若 A=(A1,A2,A3,A4), -2A1+A3-5A4= , 则 A(-2,0,1,-5)T = . 也就是说(-2,0,1,-5)T 是 Ax= 的解. 5. 此类题需掌握 例例. . 当参数k取什么值时， 直线 L1 : = = y-1 -3 x-1 2 z-4 -4 L2 : = = (k 0