计算方法--矩阵特征值的数值计算方法.pptVIP

河北联合大学 1 2 3 4 5 理论基础 幂 法 规范幂法 反 幂 法 QR分解法 4 参考文献 6 概念回顾 方阵的特征值与特征向量 特性回顾 特征值与特征向量的性质 A：n阶方阵， 若 数 和 n 维非 零列向量 X 使关系式 成立，则称为方阵A的特征值， X 称为A的对应于特征值的特征向量。 矩阵的特征值与特征向量 如 取 则特征向量是特征值, 是特征向量. 矩阵的特征值与特征向量 称为方阵A的特征多项式 显然，A的特征值就是特征方程的根, 也称特征根。 （重根按重数计算）， n阶方阵A有n个特征值。 注意 特征方程、特征根 矩阵的特征值与特征向量 求矩阵 的特征值和特征向量。 矩阵的特征多项式为 令 特征值为 当 时，求解齐次线性方程组 方程组 从而解得基础解系 的全部特征向量为 其中k为任意非零常数。 当 时，求解齐次线性方程组 得对应的方程组为 从而解得基础解系 全部特征向量为 其中数 是不同时为零的任意常数。 如果矩阵满足 则称 是幂等矩阵。 （幂等矩阵的特征值只能是0或1） 设n阶方阵A的n个特征值为则必有 （1） （2） 其中 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵 的迹，记作 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。 特征值与特征向量的性质 设n阶方阵A的n个特征值为则必有 （1） （2） 其中 是矩阵A的主对角线元素之和，称为矩阵 的迹，记作 设 n 阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个 特征值全不为零。 特征值与特征向量的性质 设 分别为方阵 的属于特征值 的特征向量，如果 各不相同， 那么向量组 线性无关。 和 设为n阶矩阵，则矩阵A 的特征值相同。 特征向量间的线性相关性 设 是n 阶矩阵A的特征值，是A的属于 的特征向量，则 （1）对任意常数，数 是矩阵的特征值； （2）对任意常数，数 是矩阵的特征值； （3）对任意正整数 ， 是矩阵 的特征值； （4）当矩阵 可逆时， 是矩阵的特征值； 特征值 并且仍然是矩阵的分别对应于特征值 的特征向量。 类似：若是A的特征值， 的特征值； （其中） 的特征向量。 设3阶方阵 的特征值为1，2，3，求 设 ，则 因为 的特征值为 1，2，3， 所以 的特征值为 ， ， 于是 用幂法计算矩阵的按模最大的特征值系 程序设计 A=1,-1,2,-6; MatrixForm% xa=-0.5,1; Doxb=A.xa; Printk,“ “,xb,“ “, xb1/xa1,“ “ xb2/xa2; xa=xb/MaxAbsxb,k,1,15 EigensystemNA; MatrixForm% 1 -0.5, 1 -1.5, -7. 3. -7. 2 -0.214286, -1. 0.785714, 5.57143 -3.66667 -5.57143 3 0.141026, 1. -0.858974, -5.71795 -6.09091 -5.71795 4 -0.150224, -1. 0.849776, 5.69955 -5.65672 -5.69955 5 0.149095, 1. -0.850905, -5.70181 -5.70712 -5.70181 6 -0.149234, -1. 0.850766, 5.70153 -5.70088 -5.70153 7 0.149217, 1. -0.850783, -5.70157 -5.70165 -5.70157 8 -0.149219, -1. 0.850781, 5.70156 -5.70155 -5.70156 9 0.149219, 1. -0.850781, -5.70156 -5.70156 -5.70156 10 -0.149219, -1. 0.850781, 5.70156 -5.70156 -5.70156 程序设计 A=1,1,0.5,1,1,0.25,0.5,0.25,2; MatrixForm% va=1,1,1; Dovb=A.va; Printk,“ “,vb,“ “, vb2/va2; va=vb,k,1,20 EigensystemNA; MatrixForm% 1 2.5, 2.25, 2.75 2.25 3 15.2188, 13.3906, 19.0469 2.46264 5 96.0293, 83.7666, 125.511 2.51015 7 613.714, 533.719, 814.025 2.5274 3939.55, 3422.47, 5251.63 2.5334 11 25327.1, 21994.9, 33820. 2.53546 13 162910., 141460., 217665. 2.53616 6 6 15 1.04806 10 , 910025., 1.4006 10 2.53616 6 6 6 17 6.74299 10 , 5.8548 10 , 9.01171 10 2.53648 7 7 7 19 4.33837 10 , 3.7669 10 , 5.79817 10 2.53651 8 7 8 20 1.10044 10 , 9.55481 10 , 1.47073 10 2.53652 A=3,2,1,-1,8,2,1,4,16; MatrixForm% y=-1,1,0.5; Dox=LinearSolveA,y; Printk,“ “,y,“ “,x,“ “; y=x/MaxAbsx,k,1,20 u=y1/x1 v=y EigensystemNA; MatrixForm%程序设计 QR分解的思路 分解 变换 Clear A=9,4,2,2,8,4,6,7,1; MatrixForm% DetA q,r=QRDecomposition A/N; Q=%1; MatrixForm% Det% R=%2; MatrixForm% TransposeQ.R; MatrixForm% EigenvaluesNA ClearA,H,Q A=5,-3,2,6,-4,4,4,-4,5; MatrixForm