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平面向量应用举例 授课人：曾超 2.5.1平面几何中的向量方法 向量的线性运算（加法、减法、数乘） 和数量积运算都具有鲜明的几何意义。 平面几何的许多性质：如平移、全等、 相似、长度、夹角等都可以由向量的线 性运算及数量积表示出来。 因此，我们可以用向量的方法来解决平 面几何中的一些问题。 例平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图1 AC=AB+AD，DB=AB-AD，你能发现平行四边形对角线的 长度与两条邻边长度之间的关系吗？ D A C B a b D A B C 图1图2 方法二： 作CEAB，DFAB于F， 则RTADF RT BCE， 所以AD=BC，AF=BE， 由于AC =AE + CE =（AB +BE）+CE =AB +2ABBE+BE +CE =AB +2ABBE+BC BD=BF + DF =（AB-AF）+DF =AB -2ABAF+ AF+ DF =AB -2ABAF+ AD =AB -2ABBE+ BC 所以AC +BD =2（AB +BC ） 222 2 222 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2222 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 D A C FBE 方法三： 以AB所在直线为X轴，A为坐标原点建立直角坐标系，设 B(a,0),D(b,c)则C(a+b,c) |AC| =(a +b) +c =a +2ab +b +c |BD| =(a -b) +c =a -2ab +b +c |AC| +|BD| =2a +2( b +c )=(2|AB| +|AD| ) 222222 22 22222 y x AB(a,0 ) D(b,c)C(a+b,c) 2 22222 向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示 问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化 为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的联系 ，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 例：如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC 边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR 、RT、TC之间的关系吗？ 分析：由于R、T是对角线AC上的两点， 要判断AR、RT、TC之间的关系， 只需要分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可。 可以根据“三步曲”来进行解答： 第一步，用向量表示问题中的几何元素 第二步，通过向量计算，研究几何元素关系 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系 D AB C R T E F 例3：已知：如图，AC为O的一条直径， ABC是圆周角，求证：ABC为直角。 分析：要证 ABC是直角， 即只需要证明ABBC 可转化为向量问题进行证明。 AC B O 例4：用向量证明三角形的三条高线交于一点 已知：如图1，ABC边上的高线分
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