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3 3 泰勒级数泰勒级数 我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆 的是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题： 一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 1、泰勒展开定理 对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开 点处具有任意阶导数. 对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶 的导数，所以这一条件是满足的. 下面给出关于这一问题的结论. 1 定理1（Taylor定理） D k 证明： 2 D kz 把上面的式子代入(2),并把它改写成下面的形式 3 而(3)又可以写为 4 5 6 事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数: 由此可见，解析函数展开成幂级数就是它的Taylor 级数，因而是唯一的. 7 8 (1)直接法-利用公式; (2)间接法-由已知函数的展开式，运用级数的代数 运算、分 析运算等方法来展开. 函数展开成Taylor级数的方法： 例如 9 2、 几个初等函数的泰勒展开式 例1 解: 思考题: 10 11 例2 把下列函数展开成 z 的幂级数: 解 12 (2)因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内 解析， ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1, 所以它的展开式的收敛范围为zR时，级数发散. 17 z0 r R z0 R r 18 现在我们考虑相反的问题：在圆环内解析的函数 能否展开成一个双边幂级数呢？这也是本节开始提出 的问题. 关于这个问题的答案是肯定的，这就是下面 要讨论的洛朗定理. 19 2、 函数展开成双边幂级数 定理 )5()()( ,:)( 0 0则内解析在设 . 0的任何一条简单闭曲线内绕是 zDc zzczf RzzrDzf n n n -= - -= 20 (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的去心邻域内解析，需要把f (z)展成级数， 那么就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开. 级数（5）中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分. 21 由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法. 在大多数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式. 例1 解： 22 例2 解： 例3 23 例4 x y o 12x y o 12 x y o 12 24 解: 25 26 27 解 (1) 在(最大的)去心邻域 例5 y x o 12 28 (2) 在(最大的)去心邻域 x o 12 练习： y 29 本讲内容小结本讲内容小结 1、泰勒展开定
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