[高考数学]高考试题中的平面向量问题的归类.doc

高考试题中的平面向量问题的归类 平面向量是新教材中高一的必学内容，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，它包括向量的概念和运算。向量的坐标表示，定比分点及数量积。旧教材中，在解析几何、复数中涉及到平面向量的问题，只是对一个概念的介绍。而现在的教学大纲要求理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。 高考对平面向量的考查也是明确的、逐考逐新的，一般来说各地高考试卷中分值约17分，占卷面的11以上，下面就近四年的高考试题中的平面向量问题作一归类。 l、从试题的类型看 判断型。这是高考中的一种选择题型、立足考查其概念公式。如：2004年天津第3题：若平面向量与向量=(1，2)的夹角是180，且|=则=（ ）A、(3，6) B、(3，6) C、(6，3) D、(6，3)考查向量坐标表示与夹角公式选A。2004年湖北第4题：已知、为非零的平面向量，甲：=，乙：=，则（ ） A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 考查向量与充要条件的定义，选B。求解型。这是高考中的一种常见题型，有填空、解答题型，立足考查其基本方法与技巧。如：2002年上海第2题：已知向量和的夹角为120，且|=2，、|=5，则（2-）= 。考查夹角公式与运算法则，答案为13。 2002年天津第21题：已知两点M(1，0)，N(1，0)且点P使，成公差小于零的等差数列。 (1)点P的轨迹是什么曲线? (2)若点P坐标（x0, y0）,记为与的夹解，求tan。考查向量的坐标表示、数量积等基本方法以及转化限制条件的技巧。（I）设P（x，y），得= =（-1-x，-y） 所以点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。证明题：这是高考中的一种难度较大的题型，着力考查综合运用数学知识与思想方法的逻辑推理的能力。如：2004年天津第22题：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F(c，0)，(c0)的准线L与X轴相交于点A，|OF| =2 |FA|，过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点。 (1)求椭圆的方程及离心率： (2)若=0，求直线PQ的方程；(3)设=（1）过点P且平行于准线L的直线与椭圆交于另一点M。证明=。考查向量的数量积、向量坐标的运算及解析几何与方程的综合运用能力。 2、从知识的联系看 与几何进行综合，如： 2001年上海第14题：在平行六面体ABCDA1B1C1 D1中，M为AC与BD的交点， 则下列向量中与相等的向量是（ ） 考查向量加减运算的几何意义，选A。 2003年辽宁第4题：已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则=( ) 考查向量几何意义，选A。 与解几进行综合，如： 2002年天津第10题：平面直角坐标系中O为坐标原点已知两点A(3，1)，B(l，3)，若点C满足=+，其中a，R，且+=l，则点C的轨迹方程为( ) A、3x+2y11=0 B、(x1)2 +(y2)2=5C、2xy=0 D、x+2y5=0 考查向量的坐标表示，选D。2003年上海第2l题、江苏第20题、辽宁第22题：已知向量0，向量=（0,a）, =(1,0)经过原点O以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0,a），以-2为方向向量的直线交于点P，其中R，试，问：是否存在两定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在求出E、F的坐标，若不存在，说明理由。 考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程与性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题的能力。根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值。因此直线OP和AP的方程分别为和y a=2 消去参数得点P（x，y）的坐标满足方程y（y a）= 2a2x2a0 所以得（I）当方程是圆的方程，故不存在合乎题意的定点E和F。（II）当oa时，方程也是椭圆，点E（0，（a+），和F（0，（a-）为合乎题意的两个定点。3、与三角进行综合如：2004年湖南第13题：已知向量=（cos，sin）向量b=（，1）则|2|的最大值是 |2|=4， 答题填4。2003年天津第4题、江苏第5题：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+（+）0， ），则P的轨迹一定通过ABC的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心考查向量的几何意义与三角形性质，选B。4、从解题的数学思想看数形结合思想的渗透，如：2004年四川第9题：已知平面上直线L的方向向量=（，），点O（0，0）和A（1，2）在L上的射影分别是O和A则=e，其中=（ ） A、 B、 C、2 D、2作图观察得e=0，选D。函数方程思想的渗透；如：2004年全国高考题第21题：设双曲线C：-y2=1(a0)与直线1：x+y=1相交于两个不同的点A、B。（I）求双曲线C的离心率e的取值范围； （II）设直线L与 y轴的交点为P，且=，求a的值。考查直线双曲线的概念与性质、平面向量的运算及函数方程思想和综合解题能力。分类讨论思想的渗透，如2003年天津第21题（前已给出）2003年上海第21题：在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，3）为OAB的直角顶点，已知|A B|=2|OA|，点B的纵坐标大于零。（1）求向量的坐标；（2）求圆X2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线y=ax21有关直线OB对称的两个点，若不存在，说明理由，若存在，求a的取值范围。 5、一点领悟 平面向量具有代数形式和几何形式的双重身份，是数形结合的重要体现，平面向量与几何问题的综合应用通常涉及到向量角度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。数量积是处理力学、三角、最值等问题的重要工具。从以上几个方面不难看出：高考对平面向量常考常新，其主要原因就在于追寻与其它重点知识的新颖巧妙的组合，把对数学思想方法的考查寓于平面向量考查中，注重在新的情景中考查数学能力，从2004年湖北高考第19题更能