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文档简介

如何破解二次函数压轴题 2018.06.07 难学难教 学生无从下手,老师视为畏途: 1.面对此类问题,学生一般只完成前面一、二问,后 面问题基本不看,即使优秀同学也非常恐惧; 2.老师出于现实考量,一般放弃后面问题的讲解,一 来实在难讲;二来风险太大,投入产出不成比例. 二次函数压轴题面临的问题_1 错失良机 学生错失提升思维能力和水平的机会, 在初中阶段,大多数同学的知识结构是零散的,不系统的.二次函数压 轴题中渗透了函数的思想,方程的思想,数形结合的思想,分类讨论 ,类比归纳等数学思想,本人认为还应该加上一个极为重要的数学思 想即:点、线、式.甚至我个人认为这个思想应该放在函数问题的首要 位置. 二次函数压轴题面临的问题_2 二次函数压轴题是以二次函数为背景,探讨点、线、 角、面、恒等式证明等问题. 现有解题体系有四个显著的特点: 二次函数压轴题的特点 对图形高度依赖。 1几何为主代数为辅。2 逻辑跳跃太大。 3思维过程冗长。 4 本人提出的解题体系特点 实际上,“点”、“线”、“式”触及了解题核心,简化 思维过程,易于学生的理解和掌握。 对图形依赖大大降低。 1 代数为主,几何为辅。 2 逻辑线条清晰。 3 思维过程简洁。 4 完全建构了新的思维体 系,归根结底三个字: 点,线,式 由线思点,由点到线, 由线到式。 如图,已知二次函数L1: 和二次函数L2: 图象的顶点分别为M,N , 与 轴分别交于点E, F. (1) 函数 的最小值为 _;当二次函数L1 ,L2 的y值同时随着x 的增大而减小时, x的取值范围是_ ; (2)当EFMN.时,求a的值,并判断四边形ENFM的形状(直接写出,不必证明); (3)若二次函数L2 的图象与x轴的右交点为A(m,0),当AMN为等腰三角形时,求方程 的解. 点:E、F、M、N 线:EF=MN; 式:两点距离公式,求a 点:A、M、N 线:AM=AN,AM=MN,AN=MN 式:两点距离公式,求m 中考数学压轴题探究1 设抛物线的解析式为yax,过点B1(1,0)作x轴的垂线,交抛物线于点 A1(1,2);过点B2( ,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A2;过点Bn( ,0)(n为正 整数)作x轴的垂线,交抛物线于点An,连接AnBn+1,得RtAnBnBn+1。 (1)求a的值; (2)直接写出线段AnBn,BnBn+1的长; (3)在系列RtAnBnBn+1中,探究下列问题: 当n为何值时,RtAnBnBn+1是等腰直角三角形? 设1kmn(k,m均为正整数),问:是否存在RtAkBkBk+1与RtAmBmBm+1相 似?若存在,求出相似比,若不存在,说明理由. 点:Bn,An,Bn+1, 线:AnBn, BnBn+1 式: AnBn= BnBn+1 点: Ak,Bk, Bk+1,Am,Bm, Bm+1 线: AkBk, Bk Bk+1, AmBm, BmBm+1 式: 中考数学压轴题探究2 中考数学压轴题探究 在直角坐标系中,我们常常遇到等腰直角三角形及45的构建问题。 个人认为,在坐标系中解决问题,尽可能以代数思想为主,几 何方法为辅。因此我开始探索此类问题代数化方法。开锁法也 就应运而生了。 将静态的几何问题,用动态的代数方法进行处理的一种 手段。可广泛应用于等腰直角三角形及45的构建问 题。 主要通过构建一线三直角,利用全等处理。美中不足之处 在于辅助线构造繁杂,特别在涉及参数的分类讨论时,容 易出现漏解。 传统 方法 开 锁 法 探索“开锁法” 的基本步骤 例1:A(4,1),若将点A绕原点旋转90得到点B,求点B坐标. 显然点B的坐标为 (1,4)或(1,4) 注意此时B1,B2存在对称关系 例2:A(a,b),若将点A绕 原点旋转90得到点B,求点B坐标. 点B的坐标为(b,a)或(b,a) 一般情况下“开锁法” 例3:如图,已知ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形, A(1,3),C(2,2),求点B坐标。 因为ABC是等腰直角三角形 点B可视为点A绕点C顺时针旋转90而成 将点C(2,2)平移到原点C (0,0) 则点A(1,3)平移后对应点为A (3,1) 将点A(3,1)绕原点顺时针旋转90 得点B ( 1,3 ),将点C 平移回点C(2,2), 所以点B (1,3)平移后即为点B(3,5) 解: 任意情况下“开锁法” 解 : 例4:如图,已知ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形, A(a,b),C(c,d),求点B坐标。 ABC是等腰直角三角形 点B可视为点A绕点C顺时针旋转90而成 将点C(c,d)平移到原点C (0,0) 则点A(a,b)平移后为A(ac,bd ) 将点A绕原点顺时针旋转90, 得点B (bd,ca) 将点C (0,0)平移回点C(c,d) 点B (bd,ca)平移后即为点B B点坐标为(bdc,cad) “开锁法”基本步骤 此问题分三种情况: 1.若两定点已知,可直接通过“开锁法”确定第三点坐标; 2.一定点一动点,可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标; 3.同一参数两动点,可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标。 【开锁法】 第一步,将等腰直角三角形直角顶点平 移至原点位置; 第二步,将斜边上一点绕原点旋转90; 第三步,将等腰直角三角形平移回原位 , 求出另一点坐标。 【开锁过程】 第一步,将钥匙平移至锁眼位置 ; 第二步,将钥匙绕锁眼旋转90 ; 第三步,将钥匙平移回原位,开 锁过程结束。 类比一下整个过程,两者是否有异曲同工之妙。 “开锁法”示例_1 抛物线 与直线 交于C、D两点,点P是y轴右侧抛物线上一个 动点,过点P作PEx轴于点E,交直线CD于点F是否存在点P,使PCF45,若存 在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. “开锁法”示例_1 物线 与直线 交于C、D两点,点P是y轴右侧抛物线上一个动 点,过点P作PEx轴于点E,交直线CD于点F是否存在点P,使PCF45,若存在 ,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 方法一、 点:C,D 线:开锁法或矩形构造法得出H 式:联立抛物线及CH直线方程. 方法二、 点:C,D 线:开锁法或矩形构造法得出点H 式:联立抛物线及CH直线方程. “开锁法”示例_1 抛物线 与直线 交于C、D两点,点P是y轴右侧抛物 线上一个动点,过点P作PEx轴于点E,交直线CD于点F是否存在点P,使PCF 45,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. “开锁法”示例_2 (2017深圳)如图,抛物线 经过点A(1,0),B(4,0),交y轴于点C; 将直线BC绕点B顺时针旋转45,与抛物线交于另一点E,求BE的长. “开锁法”示例_3 抛物线 与直线 交于A、B两点,其中点A在y轴上,点P为y轴左侧的 抛物线上一动点,当点P运动到直线AB下方某一处时,过点P作PMAB,垂足为M,连接 PA使PAM为等腰直角三角形,请直接写出此时点P的坐标. “开锁法”示例_4 (2017哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过A(4,0),B(0,4) 两点,与x轴交于另一点C,直线yx5与x轴交于点D,与y轴交于点E。点P是第二象限抛物线上的一 个动点,连接EP,过点E作EP的垂线l,在l上截取线段EF,使EFEP,且点F在第一象限,过点F作 FMx轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量 t的取值范围). “开锁法”示例_5 (2017成都)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C: 与x轴相交于A,B两点,顶 点为D,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180,得到新的抛物线C如图2 ,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C上的对应点P,设M是C上 的动点,N是C上的动点,试探究四边形PMPN能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明 理由 “开锁法”示例_5 (2017成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C: 与x轴相交于A,B两点,顶点 为D,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180,得到新的抛物线CP是第一 象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C上的对应点P,设M是C上的动点,N 是C上的动点,试探究四边形PMPN能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明理由 “开锁法”示例_6 (2017山东临沂)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 与x轴交于点A(1,0)和点B(1,0) ,直线y2x1与y轴交于点C, 与抛物线交于点C,D. 平移抛物线,使抛物线的顶点P在直线CD上,抛 物线与直线CD的另一个交点为Q,点G在y轴正半轴上,当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三 角形时,求出所有符合条件的G点的坐标. “开锁法”示例_6 (2017山东临沂)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 与x轴交于点A(1,0)和点B(1,0) ,直线y2x1与y轴交于点C, 与抛物线交于点C,D. 平移抛物线,使抛物线的顶点P在直线CD上,抛 物线与直线CD的另一个交点为Q,点G在y轴正半轴上,当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三 角形时,求出所有符合条件的G点的坐标

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