对面积曲面积分(10).ppt

设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 或 一、 格林公式 (不要求单连通域) 11.3 内容回顾 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 设D 是单连通域 ,在D 内具有 一阶连续偏导数,则对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分 与路径无关的充要条件是： 函数 (要求是单连通域) 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 当 常数时, 常用格林公式计算 三、二元函数的全微分求积 定理. 设D 是单连通域 ,在D 内 具有一阶连续偏导数,则 函数 若 则称u(x,y) 为P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函数 . 求u(x,y)的过程,叫做二元函数的全微分求积. 在 D 内是某一函数 的全微分的充要条件是： 证:(必要性) 设 则 所以 证:(充分性) 因为 记 C.B. A. 同理可证 所以 另证: (充分性) 因为 故记 对x求导不方便 , 对y求导方便 , 且 所以 定理 设D 是单连通域 ,在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下五个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 (5) 力在D内是保守力 及动点 或 则原函数为 取定点 可用通过第二类曲线积分的方法求得 u (x ,y) 二元函数的全微分求积 简单情况下提倡用凑微分的方法凑出 u(x,y) 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 11.4对面积的曲面积分 第十一章 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “分割, 近似, 求(近似)和, (取)极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 另外按微元法, 所以 这就是我们下面要讲的 定义: 设 为光滑曲面, “乘积 都存在, 的曲面积分其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 函数, 叫做积分曲面. 的和式 极限” 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似(7+1). （k 为常数) ( 由 组成) ( S为曲面 的面积) (5)若fg则, (中值定理,其中 ) (f 在上连续). 性质8. ( 对称性的应用) 若f(x,y,z)为关于x(或y,z)的连续奇函数,即 =0 请看P246 总习题十一 2 一卦限中的部分, 则有( ). 请看P181 总习题十 1 且关于面yoz(或xoz面,xoy面)对称 则: 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 且有 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: (略) (在xoy面投影) 实际是换元法:三换 说明: 1) 如果曲面方程为 2) 如果曲面方程为 例1. 计算曲面积分其中是球面 被平面截出的顶部. 解: 思考: 若 是球面被平行平面 z =h 截 出的上下两部分, 则 例2. 计算其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示 在平面 例3. 设 计算 解: 锥面与上半球面 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的 投影域为则 (其他部分为零) 例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的质心坐标. 解: 设 的方程为 利用对称性可知质心的坐标而 S在xoy面上的 投影 = = 所以则质心坐标为(0,0, ) 例5. 计算其中 是球面 利用对称性可知 解: 显然球心为半径为 利用质心公式 内容小结 1. 定义: 2. 计算: 设则 (曲面的其他两种情况类似) 注意利用对称性、形心公式 简化计算的技巧. 作业 P219 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8 思考与练习 P2