[高三数学]1解析2012全国大纲卷试题.doc

立根本色，瞻前顾后 2013届大纲卷高考备考策略探讨北京市十一学校 李锦旭 手机邮箱： 目 录 2012915百色一近3年高考试题解析（大纲卷 新课标卷） （一）2012年大纲卷解析 （二）20102011年大纲卷回顾 （三）2012年新课标卷选要 （四）小结 二2013届备考规划与策略 （一）认真研究考试说明与教材，高考题 （二）科学规划三轮复习 （三）将落实进行到底！三专题研究举例 （一）函数与导数专题 （二）简介新课标教材与新高考题的关系四互动答疑 系统要素关系图 课标 化 体 物 多元 指导 现 教材 基础与依据 考题 导向与批判 课堂教学 沃土与核心 第一部分 高考试题解析一2012年全国大纲卷理科试题简析 观念： 思维是数学的心脏，转化是数学的灵魂 1转化是数学的杠杆 恩格斯2结构决定方法象思维；3三步曲：审题联想求解4统揽全局（的意识）与重视细节（的行动）善于放与收 一. 选择题1、 复数=（ ）A 2+i B 2-i C 1+2i D 1- 2i 【答案】C 【考法】复数代数形式的除法与乘法运算2、已知集合A1，3，B1，m ，ABA，则m=（ ）A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3 【答案】B 【考法】考查集合的概念和并集运算，同时考查分类讨论思想。【解析】因为3椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为，则该椭圆的方程为（ ）A +=1 B +=1C +=1 D +=1【答案】C 【考法】椭圆的基本量 【解析】4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（ ）A 2 B C D 1【答案】D 【考法】以正四棱柱为载体考查线面距离；考查转化与化归思想。【解析】法1 直接找距离：由于，且，故之间的距离就是线面距离，即法2 等体积转化：线面距离即点A到面BDE的距离： 法3 建系，用法向量【鉴别】大纲卷与新课标有区别！（5）已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A 【考法】等差数列的基本量计算与裂项求和【解析】；而，故；。 （6）ABC中，AB边的高为CD，若，ab=0，|a|=1，|b|=2，则（ ）(A) （B） (C) (D) 【答案】D 【考法】在三角形背景下，考查向量的数量积，模等概念和减法等运算。【解析】由射影定理可得 故 （7）已知为第二象限角，sin=，则cos2=（ ）(A) （B） (C) (D)【答案】A 【考法】同角三角函数基本关系式和二倍角公式；同时注意角的范围。【解析】法1 对主条件“sin=”平方可得 法2 结合象限角缩小范围： 故 有法3 由得，又得，.法4 由，两边平方得，为第二象限角，得，.法5 由，为第二象限角，解得，得.法6 由，为第二象限角，得，.法7 记角终边与单位圆交点，其中，由为第二象限角，得，得,两边平方得， 下略。 （8）已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，则cosF1PF2=（ ）(A) （B） (C) (D) 【答案】C 【考法】双曲线的定义和余弦定理的应用。【解析】 ，又，故； 又，所以（9）已知x=ln，y=log52，则(A) xyz （B）zxy (C) zyx (D) yzx【答案】D 【考法】指数函数，对数函数的单调性和范围判断。【解析】 故细研图像特征，如：范围，渐近线，凸凹性，等 （10）已知函数的图像与x轴恰有两个公共点，则c（ ）（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1【答案】A 【考法】用导数研究函数的图像【解析】 1 + 00 + 极大值极小值 要使图像与x轴恰有两个公共点，必须有 或 解得或。 （11）将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）（A）12种 （B）18种 （C）24种 （D）36种【答案】A 【考法】乘法原理和排列问题。ab（c）bcca【解析】 先考虑第一列： 如a,b,c；再考虑第二列：从上到下只有bca或cab故有：种。 (12)正方形的边长为1，点在边上，点在边上，动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为（ ）A16 B14 C12 D10【答案】B 【考法】反射原理与三角形相似，模型化归意识，归纳推理。【解析】法1 如图：（入射角等于反射角）， 而，故； 所以； 又， 故从此以后，小球的反射线必然都与或平行。由图可知，点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为14次，选B. 法2 逐步打开转化：首次分为3：4两部分时可得交点为14个。 法3 建立坐标系分别以AB、AD为、建立直角坐标系，得、，第1次反弹时直线方程为：；依题意得：第奇数次反弹时直线斜率为，第偶数次反弹时直线斜率为，由此得第2次反弹时直线方程为：；令得与CD边交点为，得第3次反弹时直线方程为：；令得与AD边交点为，得第4次反弹时直线方程为：；令得与BC边交点为，再求出：第5次反弹时直线方程：就这样继续求解得出一系列方程，可找出答案（B） .变式题：（2003年全国新旧课程卷）已知长方形的四个顶点、和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【解析】本题有多种做法，下法供参考：如图1，将光线（折线）按照对称性打开：作点关于轴的对称点，再作点关于直线的对称点（此时直线与关于CD对称），再作关于直线的对称点（此时直线与关于BC对称）。由可得：，作，在中，；由得，选D. 二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_。【答案】 【考法】作出可行域，寻求几何意义即可。【解析】（14）当函数取得最大值时，x=_【答案】 【考法】两角差的正弦公式，正弦函数的图像和性质【解析】法1 ，取 法2 画图观察： 初相，即，再向右个单位为取最大值的点：（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_。【答案】56 【考法】二项式定理中的二项式系数，通项公式，项的系数。【解析】（16）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_。【答案】 【考法】以三棱柱为背景考查异面直线所成的角的（熟练）计算【解析】法1（平移法找角）法2（补形平移法找角） 也可在上面补法3 （基向量法）设为空间一组基底，模都是1，则； ， ， 而， 故法4（建系）三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，求【考法】三角形内角和定理，诱导公式，两角和与差的余弦公式，正弦定理，已知三角函数值求（特殊）角，三角形中的隐含条件等。【解析】观察主条件“”的结构特征，兼顾所求结论（角C），显然基本解题思路是：将角B用代替化简：即又 得 或（舍去） 故或（舍去）（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（）证明：PC平面BED；（）设二面角A-PB-C为90，求PD与平面PBC所成角的大小【考法】考查空间线面位置关系（垂直），二面角与线面角的计算与论证。 这是一道综合法和向量法都能用的试题。【解析】本题直角结构明显（PA底面ABCD）线面垂直是图形的核心结构。本题两边对称。 （）法1 因为底面ABCD为菱形，所以BDAC,又PA底面ABCD，故PABD，所以BD面PAC. 有 设 ，又，故 可得即 法2 量化处理：定量到定性 设，则，同理；又，可得 法3 向量法 （）法1 在平面内过点A作，则由可得进而；又，得；有ABCD为正方形. ，因为，所以；D到平面PBC的距离就是AG的长度. 于是，法2 向量法19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。（）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。【考法】独立事件，互斥事件，对立事件的概率计算，数学期望的计算等。数学阅读理解能力。概率模型的分析鉴别意识。【解析】（）设事件A=“开始第4次发球时（即前3次发球），甲、乙的比分为1比2”，将A的各种情况列举：发球甲甲乙甲得分100概率060406 发球甲甲乙甲得分010概率040606发球甲甲乙甲得分001概率040404 于是， （）的可能取值为0，1，2，3. 则 ； ； ； 这里计算也可用间接法：故 附录：“标答”（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设函数（）讨论的单调性；（）设，求a的取值范围。【考法】利用导数求单调区间，“恒成立”问题求参数范围。导数与三角整合，对导数和三角的要求都很高。 此处大纲卷与新课标卷的重要区别！（新课标卷对反三角的要求很低：只要求会用反三角函数表示角）【解析】（） 讨论标准的制定：，于是分如下三种情况： （1）当时，故在上递增； （2）当时，故在上递减； （3）当时，如图所示： 在上递增，在上递减，在上递增. （）法1 观察所给不等式的右边，其最小值为1，此时或。对于，有恒成立；对于有（极端情况！）下面证明：当时，对任意都有：因为，所以；故只要证明： 构造辅助函数 则 如图所示：由于，故存在唯一的值使得在上，即递增；在上，即递减；故在上于是【评注】这是一种简化处理问题的策略：先找出来确切范围，然后给予严格证明。 设确切范围为，则 法2 观察不等式结构：有，若能尝试证明：即可！构造辅助函数于是，在上，在上，有即几何意义如图所示： 于是，当时；（1）当时，故即；（2）当时即。 综上有：a的取值范围为【评注】本题解法的逻辑思路： 已知，要得到，只要得到即可！ （但是若也可有，因此，这种探索是有风险的！正因为有风险才有乐趣！无限风光在险峰嘛） 法3 问题的一种几何意义：做如下变形： 作函数 的图像是曲线从到的部分。直线的斜率为，当直线绕原点顺时针旋转时，可保证曲线在直线的上方。曲线在原点处切线的斜率为1。 法4 （分离变量）上式对成立；当时考虑设辅助函数难以判断符号！令于是，当时，递增；当时，递减；而， 因此，存在唯一的使得即。 于是，对于有，此时递增；有此时递减。 而， ； 故为所求。 法5 回归思考：对于此类“恒成立”问题，其常规解法是什么？ 构造差函数求，解即可. 因为，故；讨论如下：（1）若，则，在上递减；有，矛盾！（2）若，则，在上递增；有，适合题意； （3）若，图示如下： 分两种情况讨论： 若，则存在唯一的值使得。 这里，即 在有，此时递增；有此时递减。 故，这里，若，则取，适合题意，此时有；若，取；解，矛盾！ 若，则， 而此时， 必有，而且在区间上都有，不合题意！ 综上所述，有：【评注】于本题可见，对于高考试题潜在教育教学价值，需要我们去引导去挖掘，充分利用这些素材提高我们课堂教学的理性思维含量，回归数学课堂的本来面目。 法5 为通法，需要有较好的基本功；法4为常法（分离变量法），但需要二次求导并用到罗必达法则；法1法2为中学生能接受的方法，但是较为抽象，需要引导；法3，最简洁，是本题的一个几何解释，但论证不够严密，需要严格意义上的证明，则可借鉴法1法2。 其实，细细琢磨一下可知：高考在此提倡的是：一种演绎与论证，探索与猜想，这需要具有一定的胆识。这就不是简单的对照题型训练能获得的能力！是一种小范围的创新意识和探究能力。 21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）已知抛物线与圆M：有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线. （）求r；（）设m、n是异于且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到的距离。【考法】1知识层面：考查抛物线与圆的方程，以及两曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。2能力层面：该试题命制的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点处的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外，对于在第二问中涉及三条切线，如何从方程角度将几何问题代数化？求其中两条切线的交点到切线的距离，如何确定两条动切线的交点？这些问题值得关注！21解：22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）函数，定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标.（）证明：；（）求数列的通项公式.【考法】函数图像为背景的递推数列（解析数列）问题，数学归纳法证明不等式，由递推关系式求通项公式。数形结合思想，转化与化归思想。【解析】法1：（标答）（1）用数学归纳法证明（2）【评注】本题先求通项公式，再证明（），更为简单：法2 由直线的方程易得递推关系式；特征方程为，解得或。 所以， 故； 而由得，所以，解得。再证明： 显然 故； ，故； ，故 综上有【评注】不必回避“特征方程”的提法！可以看成是类比！其实，教材上已经有习题做好了铺垫！2012年全国大纲卷文科试题简析文科数学（必修加选修）第卷一. 选择题来源:学&科&网Z&X&X&K1. 已知集合A=xx是平行四边形，B=xx是矩形，C=xx是正方形，Dxx是菱形，则（ ）(A) (B) ( C) (D) 2. 函数y= (x-1)的反函数为（ ）(A) (B)(C) (D)2.A【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解，利用原函数反解x，再互换x,y得到结论。【解析】因为3. 若函数是偶函数，则=（ ）4. 已知a为第二象限角，sina=，则sin2a=（ ）5椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为（ ）5.C【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数a,b,c，从而得到椭圆的方程。【解析】因为6已知数列an的前n项和为Sn, ，则（ ） 76位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（ ）A 240种 B 360种 C480种 D720种7 C 【命题意图】本试题主要考查了排列问题的运用。利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论。【解析】 8. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2，CC1=,E为CC1 的中点，则直线AC1 与平面BED的距离为（ ）9. ABC中，AB边的高为CD，若ab=0，|a|=1，|b|=2，则（ ）(A) （B） (C) (D) 10.C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。【解析】解：因为11 已知x=ln，y=log52 ,z= ,则（ ）Axyz B. zxy C. zyx D. yzx来源:学科网ZXXK12. 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF=,动点p从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点p第一次碰到E时，p与正方形的边碰撞的次数为（ ）A . 8 B. 6 C. 4 D. 3来源:Z,xx,k.Com第卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上 13. 的展开式中的系数为_.14. 若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_ 15. 当函数取最大值时，x=_.15. 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值域问题。首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。【解析】解：因为16. 一直正方体ABCD- 中，E、F分别为的中点，那么一面直线AE与所成角的余弦值为_. 三 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分10分）ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边a、b、c满足，求A。（18）（本小题满分12分）已知数列中，=1，前n项和（）求；（）求的通项公式。（19）（本小题满分12分）（注意:在试题卷上作答无效）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=,PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。（）证明PC平面BED；（）设二面角A-PB-C为90，求PD与平面PBC所成角的大小 同理科（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。（）求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率。 【考法】基本同理科 （21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知函数（）讨论的单调性；（）设有两个极值点，若过两点的直线与x轴的交点在曲线上，求的值。【考法】以三次函数为背景，考查单调性和极值，借助于导数研究函数的性态。22.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）已知抛物线与圆M：有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线. （）求r；（）设m、n是异于且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到的距离。【考法】同理科第21题。二 2012年全国大纲卷试题的几个特点 一注重基本知识，基本技能技巧和基本思想方法的考查 占80%，这不是套话！ 理科考点分布表题号考点 考查层次 和解题突破口知识点 能力点 1复数代数形式的除法，乘法，运算求解能力级：分母实数化2并集的性质，子集，集合元素的互异性转化与化归能力级：3椭圆基本量（a,b,c和准线）方程思想级：解方程组4正四棱柱有关概念，线面距离等空间想象能力，等体积转化法，线线距离，线面距离，点面距离的转化级：了解空间线面结构5等差数列的通项，前n项和；裂项相消法求和，方程思想，运算求解能力级：先求通项6向量的数量积，模，向量的减法法则等基向量法，与平面几何交汇（射影定理）级：画图，计算AD将用基底表示7同角关系式，二倍角公式，象限角符号的判断数形结合思想（隐含条件），方程思想，运算求解能力，转化与化归思想级：由角和函数种类特征联想所用公式，同时画简图挖掘隐含条件8双曲线的定义和余弦定理数形结合思想和运算求解能力级：画示意图9指数函数，对数函数的单调性，范围判断模型识别意识，分析解决问题的能力级：模型意识，范围与单调性10用导数研究函数图像，极值等数形结合思想级：求导画图11分步乘法原理，排列模型鉴别意识，灵活解决问题的能力级：画表格12反射原理，基本三角知识和平几知识归纳推理，数形结合思想，模型归纳意识级：画图难度大，抽象程度高，能力要求高，要敢于下手！13基本线性规划问题数形结合思想，基本作图能力，级：画图14两角和与差的正弦公式，正弦函数的图像和性质数形结合思想，转化与化归思想级：计算，直觉15组合数的性质，二项式定理，通项，系数等概念运算求解能力级：计算16异面直线所成的角求法空间想象能力，转化与化归思想，运算与求解能力级级：画图分析：背景熟悉又陌生需要训练有素！17内角和定理，正弦定理，两角和与差的余弦公式，知值求角数形结合思想，运算求解能力级：主条件结构，简明示意图18空间直线和平面的位置关系（垂直与平行的判定与性质），二面角，线面角，空间想象能力，转化与化归思想，逻辑推理能力，运算求解能力级：分析空间线面关系19互斥事件，独立事件，对立事件概率，期