线代第一至四章习题及答案.doc

第三讲 线性方程组例11 设A是mn矩阵，r(A)=r则方程组AX = b (A)在r=m时有解. (B)在m=n时有唯一解.(C)在rn时有无穷多解.(D)在r=n时有唯一解. (B) A是nn矩阵，缺A可逆的条件.(C) 缺r(A )=r(A|b)的条件.(D) 缺r(A )=r(A|b)的条件.(A) m=r(A)r(A|b)m,则m=r(A)=r(A|b)=m.例14 的一个基础解系为(A)(0,-1,0,2)T. (B) (0,-1,0,2)T, (0,1/2,0,1)T.(C) (1,0,-1,0)T,(-2,0,2,0)T. (D) (0,-1,0,2)T, (1,0,-1,0)T.例13当A=( )时，(0，1，-1)和(1，0，2)构成齐次方程组AX=0的基础解系 (92) (A) . (B) . (C) (D) . 例15 已知(1,a,2)T,(-1,4,b)T构成次线性方程组 的一个基础解系,求a,b,s,t.方法一：把两个解(1,a,2)T和(-1,4,b)T 代入方程得 解出abst212-1-4-28方法二：s=2，n=3，则r(A)=1 于是 S=2,t=-1 例 AX=0和BX=0都是n元方程组，判断下列断言的正确性.(1) AX=0和BX=0同解 r(A)=r(B).(2) r(A)=r(B) AX=0和BX=0同解.(3) AX=0的解都是BX=0的解 r(A)r(B). (4) AX=0的解都是BX=0的解 r(A)r(B). (5) r(A)r(B) AX=0的解都是BX=0的解.AX=0的解都是BX=0的解J AJB .r(JA)r(JB)即n-r(A )n-r(B ).推论 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)n.证记B=(b1, b2, bs),则AB=(Ab1, Ab2, Abs)，于是AB=0Abi=0,i=1,2, ,s,即每个bi都是齐次方程组AX=0的解.即b1, b2, bs是J的部分组。则r(B)= r(b1, b2, bs) r(J)=n-r(A),即r(A)+r(B)n.例1 求此齐次方程组的一个基础解系和通解. A=取定自由未知量写出同解方程组 对自由未知量赋值（轮流地取值1），得基础解系 写出通解：任意2007考题已知方程组 和 x1+2x2+x3=a-1有公共解,求a和全部公共解. 有公共解联立方程组有解当a=1时，有公共解当a=2时，有公共解当a1，2时，无公共解当a=1时，联立方程组是齐次方程组，有非零解，基础解系：通解（即公共解的一般形式）：，任意a=2时，唯一解：求出解为：(0,1,-1)T例16 线性方程组 的通解可以表示为 (A) (1,-1,0,0)T+c(0,1,-1,0)T, c任意. (B) (0,1,1,1)T+c1(0,-2,2,0)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任意.(C) (1,-2,1,0)T+c1(-1,2,1,1)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任意. (D) (1,-1,0,0)T+c1(1,-2,1,0)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任意.例12 设x1，x2是非齐次方程组AX=b的两个不同的解,h1,h2为它的导出组AX=0的一个基础解系，则它的通解为（）(A) k1h1+k2h2+（x1-x2）/2. (B) k1h1+k2（h1-h2）+（x1+x2）/2.(C) k1h1+k2（x1-x2）+（x1-x2）/2. (D) k1h1+k2（x1-x2）+（x1+x2）/2.2009年考题 ， 求满足Aa2=a1和A2a3=a1的所有向量 a2和a3. 证明：在满足的情况下，任意一对a2和a3与a1放在一起线性无关 即求AX=a1和A2X=a1 的通解解 AX=a1 ：同解方程组：令求得特解AX=0的同解方程组：基础解系由构成的一般形式为，c任意A2X=a1 ：同解方程组 求出特解A2X=0的同解方程组 基础解系 的一般形式：，任意例4 线性方程组的增广矩阵为 ，又已知(1,-1,1,-1)T是它的一个解.(1) 用导出组的基础解系表示通解.(2) 写出满足x2=x3的全部解.(04四)以(1,-1,1,-1)T代入，得a=b(1) 已有了特解，只用再求AX=0的基础解系 当时 得AX=0的同解方程组求出基础解系：和通解为 ，任意 当时得AX=0的同解方程组求出基础解系：通解为 ，任意(2) 从原方程中找出满足的解时： 即，得通解：当时 即 得唯一解：例29 已知线性方程组有3个线性无关的解. 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2. 求a,b的值和方程组的通解. 显然 设是此方程组的3个线性无关的解，则是AX=0的两个线性无关的解，于是即得由得，求出得同解方程组令，得一特解AX=0的同解方程组为求出基础解系，通解为，任意例6 已知x1=(0,1,0)T和x2=(-3,2,2)T都是方程组的解,求通解. 例8 设矩阵,其中线性无关, 又设，求的通解.(02一，二) 做法一：设定 和 ，满足条件，再求解做法二：即由得特解x0=(1,1, 1, 1)T,由即，得(1,-2, 1, 0)TAX=0的一个解，构成基础解系通解：(1,1, 1, 1)T+c(1,-2, 1, 0)T，c任意例10已知3阶矩阵A的第一行为(a,b,c),a,b,c不全为0,矩阵 ,并且, 求齐次线性方程组的通解. (2005) 由得，） ）的3个列向量都是的解，则 (1,2,3)T和(3,6,k)T 构成基础解系（注：(1,2,0)T和(0,0,1)T也构成基础解系！由于(3,6,k)T3(1,2,3)T(0,0,k-9)T是解，故(0,0,1)T也是解(1,2,0)T(1,2,3)T3(0,0,1)T也是解），则，得，则，(1,2,3)T是基础解系则与同解(b,-a,0)T, (c,0,-a)T都是解，取其中非零解与(1,2,3)T构成基础解系（注：因为(1,2,3)T是解， a+2b+3c=0,a,b,c中不能有两个为0所以(b,-a,0)T，(c,0,-a)T都非零解）问题：是否可以用(b,-a,0)T, (c,0,-a)T构成基础解系答案：可能有危险第四讲 向量组的线性关系与秩例 下列各选项中哪个成立,哪个不成立?(A) 如果ba1,a2,as,则对任意数c, cba1,a2,as.(B) 如果存在c,使得 cba1,a2,as,则ba1,a2,as.(C) 如果ba1,a2,as, ga1,a2,as,则b+ga1,a2,as.(D) 如果ba1,a2,as, g a1,a2,as, 则b+ga1,a2,as.如果ba1,a2,as, g a1,a2,as,问题：b+g a1,a2,as.答: b+g a1,a2,as.例14已知b可用a1,a2,as 线性表示，但不可用a1,a2,as-1线性表示证明 as不可用a1,a2,as-1线性表示； as可用a1,a2,as-1,b线性表示 （2） 解：设 （1）用反证法 如果则例15 a1,a2,a3,b线性无关,而a1,a2,a3,g线性相关,则(A) a1,a2,a3,cb+g线性相关.(B) a1,a2,a3,cb+g线性无关.(C) a1,a2,a3,b+cg线性相关.(D) a1,a2,a3,b+cg线性无关.2009年的一个题中: a10, Aa1=0, Aa2=a1, A2a2=a1, 证明a1,a2, a3线性无关. (看题解) 证明：A 是3阶矩阵，是3维非零列向量，使得，又 满足， ，证明线性无关。证：方法一（用定义法）设 （1） ，即，得 （1）化为A（1）：，得 （1）化为 ，得方法二：，无关（否则 ，）所以 线性无关又 （否则，例14已知b可用a1,a2,as 线性表示，但不可用a1,a2,as-1线性表示证明 as不可用a1,a2,as-1线性表示； as可用a1,a2,as-1,b线性表示 r(a1,a2,as-1,as,b)=r(a1,a2,as-1,as). r(a1,a2,as-1,b)=r(a1,a2,as-1)+1.例15中的向量组的秩:r(a1,a2, a3,a4,a5)=3.例2 已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,并且a1,求a. (05)秩4 得 1-2a=0 a=例3 设a1=(1+a,1,1)，a2=(1,1+b,1)，a3=(1,1,1-b)，问a,b满足什么条件时r(a1,a2,a3)=2?1) 若 b=0 时秩）时秩为例4 设a1=(1+，1，1)，a2=(1，1+，1)，a3=(1，1，1+)，b=(0，,2) 为何值时，b可用a1，a2，a3线性表示，并且表示方式唯一？为何值时，b可用a1，a2，a3线性表示，并且表示方式不唯一？ 为何值时，b不可用a1，a2，a3线性表示？ 当时，,当时，当，例7 设a1=(1,2,-3)，a2=(3,0,1)，a3=(9,6,-7)，b1=(0,1,-1)，b2=(a,2,1)，b3=(b，1，0)已知r(a1,a2,a3)=r(b1,b2,b3),并且b3可用a1,a2,a3线性表示，求a,b.(00二)思路：先用这个条件求出b 则例6设a1=(1,2,0,1) , a2 =(1,1,-1,0), a3=(0,1,a,1),g1=(1,0,1,0),g2=(0,1,0,2).a 和k取什么值时, g1+kg2可用a1,a2,a3线性表示?写出表示式.解：得k= -1，例10 设 a1=(1+a,1,1,1),a2=(2,2+a,2,2), a3=(3,3,3+a,3), a4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时a1,a2,a3,a4线性相关?在a1,a2,a3,a4线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.解：显然 a=0时，线性相关，并且秩为1可得为极大无关组，若则当时，线性相关，秩为3，取为极大无关组，例11设 a1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-2,2,0),a5=(2,1,5,10).它们的下列部分组中,是极大无关组的有哪几个?(1) a1,a2,a3. (2) a1,a2,a4. (3) a1,a2,a5. (4) a1,a3,a4.解： a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 g1 g2 g3 g4 g5 是极大无关组的有（2），（4）例28 设A是mn矩阵，证明r(A)=1存在m维非零列向量a=(a1,a2,，a m)T和n维非零列向量b=(b1,b2,bn)T，使得A=ab T.证明： 设，其中.则 得 设，由得中的每个非零向量构成极大无关组。此时，每个，证，证，则 08年的一个考题 设a,b都是3为列向量, A=aaT+b b T. 证明 (1) r(A)2. (2) 如果a,b现性相关,则r(A)n时, |AB |0. (B) 当mn 时, |AB |=0.(C) 当nm 时, |AB|0. (D) 当nm 时, |AB |=0. (99)是m阶矩阵，问时： ， 选（B）时 例26 AB =0, A,B是两个非零矩阵,则(A) A的列向量组线性相关.B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关.B的列向量组线性相关.(C) A的行向量组线性相关.B的行向量组线性相关. (D) A的行向量组线性相关.B的列向量组线性相关. (04) AB =0,则r(A)+r(B)n,n为A的列数,B的行数.又r(A)0,r(B)0,得r(A) n,r(B)n.例16 已知n维向量组a1,a2,as 线性无关,则n维向量组b1, b2, bs 也线性无关的充分必要条件为(A) a1,a2,as 可用b1, b2, bs线性表示.(B) b1, b2, bs可用a1,a2,as线性表示.(C) a1,a2,as 与b1, b2, bs等价.(D) 矩阵(a1,a2,as )和(b1, b2, bs)等价.解：矩阵等价，即可用初等变换互化 A与B等价A与B行，列数对应相等，且（A） 是充分条件，不必要（B） 既不充分，又不必要（C） 是充分条件，不必要选（D）矩阵的等价 两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价. 矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.例17 设a1,a2,as 都是n维向量，A是mn矩阵，下列选项中正确的是（ ）.(A) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(B) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关.(C) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(D) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关. (06)设c1,c2,cs不全为0使得 c1a1+c2a2+csas=0,则c1Aa1+c2Aa2+csAas=0.(Aa1,Aa2,Aas)= A(a1,a2,as)