复变函数的积分(3).pptVIP

第三章：复变函数的积第三章：复变函数的积 分分 本章学习目标 1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西古萨基本定理; 5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式; 7会求解析函数的高阶导数. 复变函数的积分 l3.1 复变函数积分的概念 l3.1.1积分的定义 l本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后 讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是 解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性 质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我 们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。 3.1.2积分存在的条件及其计算方法 l1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑) 曲线时，积分是一定存在的。 l2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。 3.1.3 积分的性质 l从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质 ，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的. l我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓 简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时， 曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为 简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的 情形，如无特别声明，总是指曲线的正向. 3.1.3 积分的性质 l1 l2 l3 l4 例1计算 其中 为从原点到点 的直线段。 l解 直线的方程可写成 l又因为 l容易验证，右边两个线积分都与路线 无关， 所以 的值无论 是怎样的曲线都等于 例2计算 其中 为以 中心， 为半径的正向圆周, 为整数. 解: 的方程可写成 所以 因此 例3计算 的值，其中 为沿从（ 0，0）到（1，1）的线段： l解 : 例4计算 的值，其中 为沿从（ 0，0）到（1，1）的线段与从（1，0 ）到（1，1）的线段所连结成的折线 。 l解 : 3.2 柯西古萨（CauchyGoursat ）基本定理 l3.2.1 积分与路经无关问题 l积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分 值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及 区域的单连通性有关. l柯西古萨（CauchyGoursat）基本定理 如果函数在单连域内处处解析，那末函数沿内 的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即 l 3.2.3 几个等价定理 l定理一 如果函数 在单连域内处处解析， 那末积分 与连结从起点到终点的路 线 无关. l定理二 如果函数 在单连域 内处 处解析，那末函数 必为内的解析函数,并 且 原函数的概念 l下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首 先引入原函数的概念： l结论： 的任何两个原函数相差一个常数。 l利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿 莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公 式。 l定理三 如果函数 在单连域内处处解析， 为 的一个原函数， l那末 这里 为区域 內的两点。 例 5 计算 l解： 例 6 计算 l解： 例7 计算 l解： 例8 计算 l解： 3.3 基本定理的推广复合闭路定理 l我们可以把柯西古萨基本定理推广到多连域 的情况 . l在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值， 这一重要事实，称为闭路变形原理. 例9计算 的值， 为包含圆周 在内的任何一条正向简单闭曲线。 l解 : 3.4 柯西积分公式 l定理(柯西积分公式) 如果函数 在区域 内 处处解析， 为内 的任何一条正向简单闭曲 线,它的内部完全含于 , 为 内的任一点,那 末 l (3.4.1) l公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式 就可以把一个函数在 内部任何一点的值,用 它在边界上的值来表示. 例10计算 (沿圆周正向) l解 由公式(3.4.1)得 例11计算 (沿圆周正向) l解 由公式(3.4.1)得 l柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积 分表达式,是研究解析函数的有力工具 l(见3.5解析函数的高阶导数). l一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平 均值 . 3.5 解析函数的高阶导数 l一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶 导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实 变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不 能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶 导数我们有下面的定理 l定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为: 其中 为 在函数的解析区域 内围绕 的任何 一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 . 例12 计算 其中 为正向圆周 : l解:由公式(3.5.1)得 解析函数与调和函数 lLaplace方程 l调和函数的定义 l解析函数的实部和虚部与调和函数的关系 l共轭调和函数的定义 l给定实部（虚部），如何求解析函数 Laplace算子： 在区域D内解析，则必满足C.R.方程，于是 继续求导有： 而 与 在D内连续（？），必然相等，则 ： 在区域D内成立，同理有： Laplace算子 ： 于是，在区域D内有： 调和函数： 若二元函数G(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导 数，且满足Laplace方程，即： 则称函数G(x,y)为区域D内的调和函数。 共轭调和函数： 在区域D内，满足C.R.方程的两个调和函数 u(x,y)，v(x,y)中，v称为u的共轭调和函数。 问题： 1、在定义中，u,v能不能互称为共轭调和函数？ 定理： 在区域D内解析，则在区域D内，v(x,y)必为 u(x,y)的共轭调和函数。 证明：根据定义，显然。 2、在定义中，v的共轭调和函数是？ 引导： 若u(x,y),v(x,y)是区域D内的调和函数， 在区域D内解析吗？ 答：不一定。因为f(z)要在区域D内解析，必须 满足C.-R.条件。 知识点： 已知区域D内解析函数 的实部u(x,y)，如何求虚部v(x,y)? 假设u(x,y)是单连通区域D内的一个调和函数， 则： 即： 由数学分析可知： 是全微分。 令 则： ，其中 是 是区域D内的定点，(x,y)是区域D内的变点，C是一个复数。 V(x,y)与积分路径无关。 对v(x,y)求导有： 即:v(x,y)，u(x,y)满足C.-R.条件;(1) 而且v(x,y)，u(x,y)在区域D内处处可微。(2) 所以：已知u(