复合函数的求导法则(5).ppt

上一页下一页返回首页 1.4.1 复合函数的求导法则 一、一元复合函数求导的链式法则 二、 多元复合函数的求导法则 三、 小结 1.4 函数的求导法则 1 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 定理 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 一、一元复合函数的求导法则 2 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 证 3 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 例如, 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 4 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 例1 解 例2 解 5 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 例3 解 例4 解 6 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解 (1) (2) 例4 利用链式法则求下列导数: 7 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 求 解 思考: 若存在 , 如何求的导数? 这两个记号含义不同 例5 设 8 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 二、 多元复合函数的求导法则 这个复合过程， 1. 下面先讨论中间变量是一元函数的情况 可以形象的用一条链来描述： 9 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 证 10 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 11 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 12 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 这个复合过程，可以形象的用一条链来描述： 2. 下面讨论中间变量是多元函数的情况 13 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 14 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 链式法则如图示 15 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 类似地再推广，设 都在点(x, y)具有对x和y的偏导数，复合函数 在点(x, y)的两个偏导数存在，并且有 16 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 若其中 则复合函数 对x的偏导数 式中左边的 与右边的一样吗? 17 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 特殊地 即 令 其中 两者的区别 区别类似 18 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解 19 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解 20 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解令 记 同理有 21 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 于是 22 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 链式法则的记忆口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导. 23 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 例9 设 解 设 24 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 例10 设 解 25 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 无论z是自变量u、v 的函数或中间变量u、 v 的 函数，它的全微分形式是一样的. 全微分形式不变性 全微分形式不变形的实质： 26 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 27 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 解 28 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 1、链式法则（分三种情况） 2、全微分形式不变性 （特别要注意课中所讲的特殊情况） （理解其实质） 三、小结 29 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 思考题： 1. 已知 求 解 由两边对 x 求导, 得 30 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 求 在点处可微 , 且设函数 解 由题设 (2001考研) 2. 31 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 32 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页返回首页 作