Matlab在微积分中的应用.ppt

Matlab 在微积分中的应用 高等数学最基本的概念集中在极 限、导数、积分、微分等几个部 分，本章主要介绍Matlab在这几 方面的应用 1 一、极限、导数与微分 1、极限 llimit（expression，var） 该格式将对符号表达式中的变量var进 行其趋于0时的求极限运算。 Ex：sys x y a f=sin(x+2*y) limit(f,y) 2 l如果对系统的默认变量求极限时，也 可不说明变量名。 limit(f) l当需要求变量var在趋近于a时的值时 ，可用如下表达式： llimit(expression,var,a) 3 2、导数与微分 l函数f(x,y,z,)在某一点（x0,y0,z0,） 的增长率即为此函数在该点的导数。对一元 函数来说，严格定义如下： 可以用前面讲的limit命令来求各种函数的导 数，但利用导数的基本概念，可以轻松地进 行计算。 4 diff命令 （1）函数f(x)=log(x) (即lgx)的求导 diff（f） （2）求函数的高阶导数 diff（f，n） （3）多元函数的求导 diff（function，variable,n） 其中n为求导阶数 （4）对抽象函数的求导 5 二、积分 1、不定积分 int(f) int(f,var) Ex: syms x y z; int(sin(x*y+z) ans=-cos(x*y+z)/y 如果对z积分，应在int命令后说明： int(sin(x*y+z)，z) 6 2、定积分与广义积分 l在Matlab中只要在int命令中加入积分限 ，就可求得函数在积分上下限间的积分 值： lint（function,var,积分下限,积分上限） Ex: syms x y ansa=int(cos(x),0,pi/6); ansb=int(xy,y,0,pi/6); 7 l当积分限由某一具体数值变为正 负无穷时，定积分便转变为广义积 分，也只需将积分限变为无穷，就 可以得到相应函数的广义积分值 8 Ex：求函数 f(x)=1/(x +2x+3),g(x)=1/(x +2x-3)在负 无穷到正无穷的积分 syms x f=1/(x2+2*x+3); g=1/(x2+2*x-3); intf=int(f,-inf,inf); intg=int(g,-inf,inf) ezplot(f,-10,10); ezplot(g,-10,10); 2 2 9 g(x)在数轴上有不可积的奇点 10 三、化简、提取与替换代入 l1、化简 （1）pretty 如A为待转化格式的代数式，命令 pretty（A）即可将A由机器格式转化 为手写格式，而且在转化过程中不会 对A式进行任何化简或展开 11 （2）Matlab的化简命令 l降幂排列法（collect） l展开法（expand） l重叠法（horner） l因式分解法（factor） l单一化简（simplify） l不定化简（simple） 12 l降幂排列法（collect） collect(A) collect(A,name_of_varible) l展开法（expand） 将代数式中所有的括号打开，将变量释 放出来，但得出的结果并不进行任何整 理和幂次排列，只将其凌乱的堆在一起 13 l重叠法（horner） 重叠法使一种很特别的代数式的整理 化简方法。它的化简方法是将代数式 尽量化为 ax(bx(cx(zx+z)+y)+)+b)+a 的形式。 horner（A） 14 l因式分解法（factor） 因式分解法是化简方法中最常用的一 种方法，它的目的就是将代数式A化为 由x的一次项为单位的连乘积的形式。 factor（A） 15 l单一化简（simplify） 在Matlab中，单一化简是指代数式在 考虑了求和、积分、平方运算法则，三 角函数、指数函数、对数函数、 Bessel函数、hypergeometric函数、 garmma函数的运算性质，经计算机比 较后转化的一种认为相对简单的形式。 此种转化只列出结果，用户并不知道这 种形式是经何种变换后得到的。但在普 通的化简中，单一化简法倒不失为一种 简便快捷的化简方法。 16 l不定化简（simple） 综合了前面几种化简方法的优点， 但也略显笨拙。因为它不仅将前面 的每一种化简方法都试了一遍，还 尝试了4、5种转化方法，最后还 一一将这些结果列了出来。列出的 结果往往多的超出3、4屏，用户 可细细观察挑选 17 2、提取与替换代入 l提取（subexpr） 在进行繁琐的数学运算中，经常会碰 到类似这样的情况：得到的方程的解 中，有几个非常长的因子在解中出现 很多遍，不管是在纸上还是在屏幕上 ，它不仅使式子过长变得难看，而且 在转抄或粘贴时非常容易出错。 18 Y,SIGMA=subexpr(X,SIGMA) 或Y,SIGMA=subexpr(X,SIGMA) l式中各参数含义如下： X：待整理的代数式或代数式的矩阵 SIGMA：在整理过程中提出的各种因子 将以矩阵的格式保存在名为SIGMA的 变量中 Y：经提取各种因子后，整理完毕的代 数式或其矩阵将被保存于Y矩阵中 19 代入（subs） l在Matlab中，将一代数式代入另一式中的 操作命令名为subs lss=subs(S,OLD,NEW) S：代数式名 OLD：代数式S中的将要被替换的旧变量名 NEW：将要替换OLD的新变量或代数式 ss：替换后的新代数式 20 四、级数求和 l1、symsum(s) s为待求和的级数的通项表达式 命令symsum(s)的功能是求出s关于系统默认变 量如k的由0到k-1的有限项的和。如不能确定s的 默认变量，则可用findsym(s)命令来查的 lsymsum(s,v) v为求和变量。求和将v等于1求至v-1 21 五、二重积分 l在一个面上积分是二重积分的本质。只 要能明确的将积分面表达出来并恰当转 化成int命令中所需的积分限的形式，二 重积分的结果就得到了。 现在的重点是根据画出的积分平面的外 形，正确的定出两组积分限。在此将用 ezplot命令画出积分平面外形。 22 Ex：计算函数f=x /y 在区域D上的积 分，其中D为直线y=2x,y=x/2,y=12- x围成的区域 l1.划分积分区域 syms x y f=x2/y2; y1=2*x; y2=x/2; y3=12-x; ezplot(y1) hold on ezplot(y2) hold on ezplot(y3,-2 15) 22 23 3条直线相应区域即为积分区域 24 l2.确定积分限 pointA=fzero(2*x-x/2,0) pointB=fzero(2*x-(12-x),4) pointC=fzero(12-x-x/2,8) 求得结果为： pointA=0 pointB=4 pointC=8 即xA=0,xB=4,xC=8 25 l3.积分运算 A1=int(f,y,x/2,2*x) A2=int(f,y,x/2,12-x) B1=int(A1,0,4) B2=int(A2,4,8) Answer=B1+B2 26 六、符号方程与方程组的求解 l1、线性方程组linsolve X=linsolve(A,B) A必须至少是行满秩 l2、非线性方程组和超越方程 (1)solve(E),solve(E,var) E为符号方程 Var为代求符号变量 27 (2)a1,a2,an=solve(E1,E2,En) a1,a2,an=solve(E1,E2,En,var1, var2,varn) 28 l3、方程的数值求解方法 （1）一元方程转化的函数，其零点的求 法用fzero命令 z=fzero(fun,x) z=fzero(fun,x,tol) z=fzero(fun,x,tol,trace) 29 （2）非线性方程组的求解fsolve X=fsolve(functions_name,X0) 其中functions_name是预先以m函数 格式写入Matlab的函数组的函数名。 X0是当函数组均等于零时对各变量的 解的估计。 30 1.求函数y=sin3x/tg5x在x=0处的极限 2.求函数y=1/x -3x+3的50阶导数 3.求(2-sinx)/sin x的不定积分 4.求函数f(x,y,z)=x +y z 在区域D上的积分，区域 D