近世代数主要知识点.ppt

近世代数基础 补考复习练习 王尚文 近世代数基础 基本概念 群论 环和 域 第一章 基本概念 n集合 n映射 n代数运算 n结合律 n交换律 n分配律 n一一映射 n同态 n同构、自同构 n等价关系与集合分类 第二章 群论 n群的定义 n单位元、逆元、消去律 n有限群的另一定义 n群的同态 n变换群 n置换群 n循环群 n子群 n子群的陪集 n不变子群、商群 n同态与不变子群 第三章 环和域 n加群、环的定义 n交换律、单位元、零因子、整环 n除环、域 n无零因子环的特征 n子环、环的同态 n多项式环 n理想 n剩余类环、同态与理想 n最大理想 集合的定义 n若干个固定事物的全体叫做 一个集合 简称集 n元组成一个集合的事物叫做 这个集合的元素 有时简称元 n一个没有元素的集合叫做空 集合 n集合的积 令A1 A2 ，An是n个集合，有一切从 A1 A2，An里顺序取 出的元素组（a1 ，a2， a3，an）（ aiAi）所做成的集合叫做 集合 的积 n子集 若集合b的每一个 元素都属于集合a，我们说， b是a的子集 n交集 集合a和集合b的所有 共同元所组成的集合就叫做a 和b的交集 n并集 由至少属于集合a和b之 一的一切元素组成的集合就 叫做a和b的并集 映射 n映射的定义 假如通过一个法则，对于任何一个 A1A2An的元都能得到一个唯一的D的元d ，那么这个法则叫做集合A1A2An到集合 D的一个映射 像 逆象， n映射的相同 效果相同就行 代数运算 n定义一个AB到D的映射叫做一个AB到D的代数运算 n代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一 个代数运算我们用。来表示 n二元运算 假如。是一个AA到A的代数运算，我们说集合A是 闭的 二元运算 分配律 n第一分配律 b（a+b）=（ba)+(b na） n第二分配律 （a1+a2）b=（a1b）+（a2b） 同态 n同态映射 一个A到的映射l，叫做一个代数运算和 来说，A到的同态映射，假如，在之下不管a和b 是A的哪两个元，只要aa，bb 就有a b a b n假如运算1和1来说，有一个A到A的满射的同态映射 存在，同态满射 n同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 n自同构 等价关系与等价类 n集合的等价关系 假如满足以下规律反射律；a a，不管a是A的哪个元。， 对称律:abba ，推移律：ab，bc=a c 同余关系 群的定义 n群的第一定义 一个不空集合G对于乘法的代数 运算来说做成一个群，假如 G对于这个乘法来说是闭的 结合律成立：a（bc）=（ab ）c对于G的任意的三个元a， b，c都对； 对于G的任意两个元a，b来说 ，方程ax=b 和ya=b都在G 里有解 n群的第二定义 G对乘法是闭的 结合律成立：a（bc） =(a b)c对于G里的任意元都对 G里至少存在一个左单 位元e，能让ea=a 对G 中的任意a都成立 对于G的每个元a，在G 里至少存在一个左逆元 a 能让aa=e 单位元、逆元、消去律 n单位元 一个群的唯一的能使ea=ae=a的元e叫做群的单位元 n逆元 一个群的每一个元a来说，在群里存在一个而且只存在一 个元a，能使aa=aa=e n消去律 若 ax=ax，那么x=x 若 ya=ya，那么y=y 群的同态 n定理 假定G与G对于它们的乘法来说同 态，那么G也是一 个群 n注意 假如G和G同态，那么不一定是群 n定理2 假定G和G是两个群。在G到G的一个同态映射下，G的 单位元e的象是G的单位元，G的元a的逆元a的象是a的象的逆元 n在一个同构映射下，两个单位元互相对应，相互对应的元的逆元相 互对应。 变换群 n定理1 假定G是集合A的若干个变换所做成的集合，并且G包含恒 等变换，若是对乘法（：aa，：aa 那么a（a(） 来说做成一个群，那么G只包含A的一一变换 。 n变换 群 一个集合的若干个一一变换对 于以上规定的乘法做成的 一个群叫做A的一个变换 群 n定理2 一个集合的所有一一变换 做成一个变换 群 n定理3 任何一个群都同一个变换 群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c 我们在G里任意取出 一个元x来，那么x：ggx=gx是集合的一个变换 。因为给 了G 的任意元g，我们能够得到一个唯一的G的元gx。这样 由G的每 个元x，可以得到G的一个变换 x。我们把所有这样 的来的G的变 换放在一起，做成一个集合G= a，b，c 那么xx是G 到G的满射，但消去律xy=gxgy告诉我们若xy，那么x y，所以xx是一一映射。在进一步看，是同构映射 所以任何 群和一个变换群同构 置换群 n一个有限集合的一一变换叫做置换 n一个有限集合的若干个置换群做成的一个群叫做置换群。 n定义 一个包含n个元的集合的全体置换做成的群叫做对称群 sn n定理 1 n次对称群sn的阶是n！ n定义 sn的一个把ai1变到ai2而使得其余的元， 假如还有的话，不变的置换，叫做一个k-循环置换 n定理2 每一个n个元的置换都可以写成若干个互相没有共同数字 的循环置换的乘积。 n定理3 每个有限群都与一个置换群同构 循环群 n定义 若一个群G的每一个元都是G的某个固定元a的乘 方，我们就把G叫做循环群，我们也可以说，G是由元a 生成的，并且用符号G=（a）来表示。a叫做G的一个 生成元 n定理 假定G是一个由元a所生成的循环群。那么G的构 造完全可以由a的阶来决定 a的阶若是无限，那么G与整数加群同构 a的阶若是一个有限整数n，那么G与n的剩余类加群同构 子群 n定义 一个群的一个子集H叫做G的一个子群，假如H对 于G的乘法来说做成一个群 n做成子群的必要条件; ,a， bH=abHaH=a H n定理 做成子群的充分必要条件a，bH=ab H n一个群的不空有限子集H作成G的一个子群的充分必要 条件是：a，babH 子群的陪集 ab 当且仅当ab H时 是一种等价关系 ab当且仅当baH是 也是等价关系 等价关系的类是右陪集 Ha 第一种情况 由所决定的类是左陪 集 第二种情况 一个右陪集的个数和 左陪集的个数相等 它们或者都是无限大 或者都是有限并且相等 子群的陪集续 n指数 一个群的子群的右陪集的个数叫做H在G里的指 数 n假定H是一个有限群G的子群，那么H的阶n和它在G里 的指数j都能整除G 的阶N 并且N=nj n一个有限群的任一元a的阶n都能整除G的阶 不变子群、商群 n定义 一个群G是一个子群N叫做一个不变子群，假如对 于G的每个元a来说，都有Na=aN 一个不变子群的一 个左(右)陪集叫做N的一个陪集 n一个群G的一个子群是一个不变子群的充要条件是： aNa=N 对于任意元a都成立 n充要条件 aG，nN=anaN n商群 一个不变子群N的陪集所做成的群叫做一个商群 G/N 有限群时 G的阶/N的阶=G/N的阶 同态、不变子群 n一个群G同他的每一个商群G/N同态 n同态映射的核 ：假定 &是一个群G到另一个群G的一个 同态映射。G的单位元e在&之下的所有逆象所做成的 G的子集就叫做同态映射的核 。 n定理 假定 G 与G是两个群，并且G与G同态，那么这 个同态映射的核N是G的一个不变子群，且G/NG 加群、环的定义 n加群 一个交换群叫做一个加群 n环 一个集合叫做一个环 1 R是加群 对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交 换群 2 R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的 3 这个乘法适合结合律：a（bc）=（ab）c不管a，b，c 是R的哪三个元 两个分配律都成立 a（b+c）=ab+ac （b+c）a=ba+ca 交换律、单位元、零因子、整环 n交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个 元 n单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 n零因子 若环里a0，b0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 n整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba .R有单位元1：1a=a1=a R没有零因子ab=0=a=0或b=0 除环、域 n除环 1， R至少包含一个而不等于零的元 2，R有单 位元 3，R的每一个不等于零的元有一个逆元 n域 一个交换除环叫做一个域 n在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来 说的阶都一样的 n一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征 n整环 除环