基本初等函数与初等函数(1).ppt

y=c O x y 第三节 基本初等函数与初等函数 一、 基本初等函数 常量函数、指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 幂函数、 1常量函数： （c为任意常数） 1 2.幂函数 1、图形都通过点（1，1）。 2、时，图形过原点， 且在 内单调增加。 3、时，图形在内单调减少。 图像特点 ： 2 例1：求函数的定义域。 解： 3 3、指数函数 它的定义域是整个实数集 性质： （1）图形在 x 轴的上方 （2）图形均过点 （3） 曲线从左到右逐渐上升。 曲线从左到右逐渐下降。 但与 x 轴不相交. 4 以无理数 为底的指数函数 是常用的实数函数. 指数函数的运算性质: 5 例2: 比较下列数值的大小 解: 解: 6 4. 对数函数 的反函数记为 称为对数函数, 性质: （2）图形在 y 轴的右方 （1）图形均过点 不与 y 轴相交. 曲线从左到右逐渐上升。 曲线从左到右逐渐下降。 (3) 7 对数函数的运算性质： 以 e 为底的对数是常用的对数函数， 称为自然对数，记为 8 5、三角函数 （1）正弦函数 1、 是有界函数 性质： 是奇函数 4、周期 3、是单增函数。 9 （2）余弦函数 1、是有界函数 是偶函数 4、周期 3、是单减函数。 性质: 值域W: -1, 1 10 （3）正切函数 性质: （1）在定义域中是无界函数。（2）是奇函数 （3）在内是单调增函数。 （4）周期为 11 （4）余切函数 性质: （1）在定义域中是无界函数。 （2）是奇函数 （3）在内是单调减函数。（4）周期为 12 （5）正割函数 是余弦函数的倒数，无界函数，周期为 （6）余割函数 是正弦函数的倒数，无界函数，周期为 13 常用的三角函数的公式 14 6.反三角函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 xyarcsin=反正弦函数 15 性质 （1）在 -1, 1 上有界函数。 （2）是奇函数。 （3）在上是单调增函数。 16 反三角函数值的确定 求arcsin x的方法是： 17 反余弦函数 性质 （1）在 -1, 1 是有界函数。 （2）是非奇非偶函数 （3）在 上是单调减函数。 18 求arccos x的方法是： 在0, p内确定一点a，则arccos x=a。使cos a=x， 反三角函数值的确定 19 反正切函数 性质 （1）在 （2）是奇函数 （3）在上是单调增函数。 内是有界函数 20 性质 （1）在 （2）是非奇非偶函数 （3）在上是单调减函数。 内是有界函数. 反余切函数 21 由基本初等函数经过有限次四则运算得出的函数 称为简单函数。 如： 都是简单函数。都不是简单函数。 二、 复合函数 1、简单函数 是由基本初等函数 与简单函数 所构成。 22 函数 g 在E上的值域 g(E) 必须含在 f 的定义域内，即 g (E)D. 否则，不能构成复合函数. 设函数 y = f (u)的定义域为D，函数u=g (x)在E上有定 义，且 g(E) D，则由下式确定的函数 y = f g (x)，xE 函数g与函数 f 能构成复合函数的条件是: 称为由函数 y = f (u)和函数u = g (x)构成的复合函数，它的 定义域为E，变量u称为中间变量. 两个及多个函数能够构成复合函数的过程叫函数的复 合运算. 定义（复合函数） 23 复合函数 y = arcsin(x2-1) 的定义义域为为 例4 函数 y = arcsin(x2 1)可以看成是函数 y = f (u) = arcsinu 和 u=g (x)= x2 1 y = f (u)的定义义域D=u | |u|1, u = g (x) 的定义义域 E=x | 0 当 x = 0 当 x 0 取整函数 当 30 作 业 P19 4 (1)、(4)、(5)、(6) 31 （1）正弦函数 在直角坐标系中取单位圆 在圆周上任意一点 从现在开始角度用弧度x 表示 圆的半径 1、 是有界函数 图形 性质： 是奇函数 4、周期 3、是单增函数。 32 5、三角函数 在直角三角形中： 正弦余弦 正切 余切 正割余割 33 任意三角形： 角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的。 当射线绕着它的端点旋转一周 以上，就形成大于3600 的角。 习惯上规定： 逆时针方向旋转而成的角是正角。 顺时针方向旋转而成的角是负角。 角的度量单位用弧度（实数）： 1 弧度 弧度 34 二、 复合函数 定义 设函数 y = f (u)的定义域为D，函数u=g (x)在E上 有定义，且 g(E) D，则由下式确定的函数 y = f g (x)，xE 称为由函数 y = f (u)和函数u = g (x)构成的复合函数， 它的定义域为E，变量u称为中间变量. 是由基本初等函数与函数 复合而成。 例如 两个及多个函数构成复合函数的过程叫函数的复合 运算. 35 函数 g 在E上的值域 g(E) 必须含在 f 的定义域内 ，即g (E)D. 否则，不能构成复合函数. 函数g与函数 f 能构成复合函数的条件是: 复合函数 y = arcsin(x2-1) 的定义义域为为 例3 函数 y = arcsin(x2 1)可以看成是函数 y = f (u) = arcsinu 和 u=g (x)= x2 1 y = f (u)的