计算传热学第5讲离散方程的求解、加速及注意事项.ppt

计算传热学第计算传热学第5 5讲讲 离散方程的求解离散方程的求解 Solution of Difference Solution of Difference EquationsEquations 本讲内容：本讲内容： n n 引言引言 n n 几个基本事实几个基本事实 n n 基本迭代法基本迭代法 n n 加速收敛技术块迭代法加速收敛技术块迭代法 n n 加速收敛技术多重网格法加速收敛技术多重网格法 n n 加速收敛技术块修正法加速收敛技术块修正法 n n 加速收敛技术其它方法加速收敛技术其它方法 n n 收敛判据、收敛速度的控制及其它收敛判据、收敛速度的控制及其它 阅读要求阅读要求 n n 陶陶文铨文铨数值传热学数值传热学 n n 第第4 4章第章第4.44.4节节 n n 第第7 7章章 5.1 5.1 离散化方程的求解必须讲求方法离散化方程的求解必须讲求方法 n离散化代数方程的求解 n不论何种方法 n不论问题的性质如何 n且一般是非线性的 n具有基本重要性 n不可或缺 离散化方程的求解必须讲求方法离散化方程的求解必须讲求方法 n n 直接方法（或精确解法）直接方法（或精确解法）direct solutiondirect solution n n 未知数个数巨大未知数个数巨大 n n 计算工作量太大，根本得不到解计算工作量太大，根本得不到解 n n 舍入误差（舍入误差（round-off error)round-off error) n n 得不到得不到“ “精确解精确解” ” n n 精确解法的结果往往是错误的精确解法的结果往往是错误的 n n 只能采用迭代法（只能采用迭代法（iteration methoditeration method） n n 在数值传热学中：基本重要性在数值传热学中：基本重要性 n n 普通迭代法普通迭代法 n n 效率低效率低 n n 收敛速度慢收敛速度慢 n n 采用加速收敛方法（采用加速收敛方法（acceleration methodsacceleration methods） 5.2 5.2 几个基本事实几个基本事实 n n 离散化方程的形式：离散化方程的形式： n n 对于二维问题，对于二维问题， n n 对于一维问题，对于一维问题， 或者写成，或者写成， 39 几个基本事实几个基本事实 n n 离散化方程的形式离散化方程的形式 n n 对于一维问题，它是一个三对角方程，对于一维问题，它是一个三对角方程，TDMATDMA法法 n n 对于多维问题：对于多维问题： n n 大型稀疏系数矩阵大型稀疏系数矩阵 n n 不能形成不能形成“ “对角对角” ”方程方程 n n 对角方程：高效的求解方法对角方程：高效的求解方法 n n 聪明的节点编号：聪明的节点编号：“ “对角方程对角方程” ” 几个基本事实几个基本事实 n n 迭代法是近似法迭代法是近似法 n n 理论上：给出任意指定精度的近似解理论上：给出任意指定精度的近似解 n n 迭代法的收敛速度迭代法的收敛速度 n n 问题的性质问题的性质 n n 结点数目增加，收敛速度迅速降低结点数目增加，收敛速度迅速降低 n n RecallRecall：数值解的精度与子区域的大小有关数值解的精度与子区域的大小有关 n n 实际问题：结点数目非常大实际问题：结点数目非常大 n n 为什么节点数增加，收敛速度下降？为什么节点数增加，收敛速度下降？ n n 边界条件信息向区域内部的传递速度边界条件信息向区域内部的传递速度 节点多了，层次多了，节点多了，层次多了，“ “路径路径” ”长长 了，收敛速度慢了！了，收敛速度慢了！ 特别提示特别提示 n n 加速边界信息的传递，必然会提高收敛加速边界信息的传递，必然会提高收敛 速度速度 n n 加速收敛的主要思路之一加速收敛的主要思路之一 几个基本事实几个基本事实 n n 收敛速度与边界条件的类型有关收敛速度与边界条件的类型有关 n n 第一类边界：第一类边界： n n 边界信息最为确定，收敛速度最快边界信息最为确定，收敛速度最快 n n 第三类边界：第三类边界： n n 边界信息较确定，收敛速度较快边界信息较确定，收敛速度较快 n n 第二类边界：第二类边界： n n 边界信息最不确定，收敛速度最慢边界信息最不确定，收敛速度最慢 几个基本事实几个基本事实 n n 收敛速度与问题的类型有关：收敛速度与问题的类型有关： n n 扩散型方程易于收敛扩散型方程易于收敛 n n 对流扩散方程收敛慢对流扩散方程收敛慢 n n 层流比紊流问题收敛更困难层流比紊流问题收敛更困难 n n 线性问题比非线性问题容易收敛线性问题比非线性问题容易收敛 n n 收敛速度与迭代顺序有关收敛速度与迭代顺序有关 n n 设定边界条件时一定要慎重设定边界条件时一定要慎重 n n 确定的待求变量数值确定的待求变量数值 几个基本事实几个基本事实 n n 三对角方程：可以高效直接求解三对角方程：可以高效直接求解 n n 直接解法可以一次性传递边界信息直接解法可以一次性传递边界信息 n n 迭代过程中要尽可能多地采用直接法迭代过程中要尽可能多地采用直接法 5.3 5.3 基本迭代法松弛法基本迭代法松弛法 n n 松弛法（松弛法（Relaxation method)Relaxation method) n n 用上次迭代值用上次迭代值 （0 0）和本次迭代值 和本次迭代值 构造本轮构造本轮 迭代解，即，迭代解，即， 从从方程（方程（1 1）中解出中解出 P P 代入（代入（4 4），有，），有， 松弛法（松弛法（Relaxation Relaxation method)method) n n 是松弛因子，是松弛因子， relaxation factorrelaxation factor n n 0 1: 1: 超松弛（超松弛（Over relaxationOver relaxation） 松弛法（松弛法（Relaxation Relaxation method)method) n n 最佳松弛因子最佳松弛因子 optopt : : n n 获得最快的收敛速度获得最快的收敛速度 n n 不能事先预测不能事先预测 n n 对于扩散型问题：超松弛可以加速收敛对于扩散型问题：超松弛可以加速收敛 n n 亚松弛：改善收敛特性，抑制发散亚松弛：改善收敛特性，抑制发散 n n 复杂问题一般用亚松弛复杂问题一般用亚松弛 n n 公式公式(5):(5):点迭代（点迭代（stepwise iteration)stepwise iteration) n n 程序简单程序简单 n n 收敛速度慢收敛速度慢 n n 计算机速度的提高：点迭代的可能性计算机速度的提高：点迭代的可能性 松弛法（松弛法（Relaxation Relaxation method)method) n n 松弛法的基本思想：具有重要意义松弛法的基本思想：具有重要意义 n n 点迭代点迭代 n n 线迭代线迭代 n n 源项等的处理源项等的处理：对于强源项问题，：对于强源项问题， 5.4 5.4 加速收敛技术加速收敛技术 n n 为什么一定要采用加速收敛方法？为什么一定要采用加速收敛方法？ n n 收敛速度成为制约因素收敛速度成为制约因素 n n 加速收敛的基本出发点：加速收敛的基本出发点： n n 加速加速边界边界信息信息的的传递传递 n n 增加增加直接求解的直接求解的份额份额 n n 最大限度地最大限度地减少减少待求变量的待求变量的数目数目 5.4.15.4.1块迭代法块迭代法 n n 块迭代法：块迭代法：Block iterationBlock iteration n n 将求解区域将求解区域分成分成若干若干块块（大的子区域）（大的子区域） n n 未知数个数巨大未知数个数巨大 n n 块块：一条线和数条网格线组成：一条线和数条网格线组成 n n 同一块同一块上的待求变量上的待求变量用直接法用直接法求解求解 n n 不同块不同块之间之间用迭代法用迭代法求解求解 n n 这相当于：这相当于： n n 代数方程可以分区域求解代数方程可以分区域求解 n n 各个区域间用迭代法完成各个区域间用迭代法完成 5.4.1 5.4.1 块迭代法块迭代法 n n 最常用的方案：线迭代最常用的方案：线迭代(line iteration)(line iteration) n n 对于对于二维问题二维问题，参见方程（，参见方程（2 2）：）： n n 改写：改写： 方程（方程（7 7）形式上变为）形式上变为一维问题一维问题 线迭代法线迭代法 n n 说明：说明： n n 形式上变为形式上变为一维问题一维问题 n nb b 中的中的 S S 和和 N N 是未知的：上次迭代值是未知的：上次迭代值 n n 在同一条线上求解在同一条线上求解 n n 逐线求解，直到覆盖整个求解区域。逐线求解，直到覆盖整个求解区域。 扫扫 描描 方方 向向 扫扫 描描 方方 向向 线迭代法线迭代法 n n 当然，将方程（当然，将方程（2 2） 还可以这样改写，还可以这样改写， 显然，它给出了竖直线之间的迭代。显然，它给出了竖直线之间的迭代。 扫描方向扫描方向 扫描方向扫描方向 线迭代法说明线迭代法说明 n n 交替方向法交替方向法(ADI, Alternative Direction Iteration) n n 特点：特点： n n 增加增加了了直接求解直接求解的的份额份额 n n 加速加速了边界了边界信息信息的的传递传递速度速度 n n 大幅度地大幅度地提高提高了了收敛速度收敛速度（与点迭代相比）（与点迭代相比） n n 程序程序仍然相对仍然相对简单简单 n n 内存内存占用占用增加不多增加不多 n n 属于属于必须掌握必须掌握的方法的方法 线迭代法说明线迭代法说明 n n 分类分类 n n JacobiJacobi迭代迭代 n n Gauss-SeidelGauss-Seidel迭代迭代 n n 松弛迭代松弛迭代 n n 系数系数一定要采用一定要采用JacobiJacobi迭代迭代，否则，否则 n n 扩散系数计算的不一致扩散系数计算的不一致 n n 导致违反流的相容性原则导致违反流的相容性原则 n n 迭代过程发散迭代过程发散 线迭代法说明线迭代法说明 n n 扫描方向与扫描起始线扫描方向与扫描起始线 n n 对收敛速度的影响比较大对收敛速度的影响比较大 n n 有确定信息的边界作为扫描起始线有确定信息的边界作为扫描起始线 n n 扫描方向：对着边界信息较确定的边界扫描方向：对着边界信息较确定的边界 n n 各边界信息量相同时：各边界信息量相同时：“ “短路径短路径” ”原则原则 1st 3rd 2nd 2nd 扫描方向扫描方向 y x 线迭代法说明线迭代法说明 n n 程序中扫描方向的设计程序中扫描方向的设计 n n 最佳方案最佳方案：每个坐标方向上各进行来回两次扫描：每个坐标方向上各进行来回两次扫描 n n 简化方案简化方案：每个坐标方向上各进行一次扫描：每个坐标方向上各进行一次扫描 n n 对坐标系进行调整，起始线：确定信息对坐标系进行调整，起始线：确定信息 2nd 1st 2nd 3rd y x 2nd 1st 2nd 3rd 5.4.2 5.4.2 多重网格法多重网格法 n n Multi-grid methodMulti-grid method的的依据依据 n n 影响收敛速度的关键因素影响收敛速度的关键因素：边界信息的传递：边界信息的传递 n n 节点数目增加，收敛速度降低节点数目增加，收敛速度降低 n n 节点数目增加，边界到内部的相对路径增加，层节点数目增加，边界到内部的相对路径增加，层 次增多次增多 n n 网格加密不利于误差矢量长波分量的衰减网格加密不利于误差矢量长波分量的衰减 n n 方案方案: : n n 在粗网格上求解：加速边界相息的传递在粗网格上求解：加速边界相息的传递 n n 在密网格上求解：得到满足精度要求的解在密网格上求解：得到满足精度要求的解 多重网格法多重网格法 由由疏疏到到密密的过程的过程 多重网格法多重网格法 由由密密到到疏疏的过程的过程 多重网格法多重网格法 n n 实际操作时：实际操作时： n n 先由密到疏，再由疏到密先由密到疏，再由疏到密 n n 细网格：衰减误差的短波分量细网格：衰减误差的短波分量 n n 粗网格：衰减误差的长波分量粗网格：衰减误差的长波分量 n n 迭代：控制迭代次数，监视迭代误差迭代：控制迭代次数，监视迭代误差 n n 尽可能采用尽可能采用直接法求解直接法求解 n n 最细层次网格上的迭代：控制迭代精度，监最细层次网格上的迭代：控制迭代精度，监 视迭代次数视迭代次数 多重网格法多重网格法 n n 两层网格之间：两层网格之间： n n 有尽可能多的有尽可能多的“ “继承关系继承关系” ” n n 减少插值减少插值（由细到粗）（由细到粗） n n 简化简化由粗到细网格的由粗到细网格的插值插值 n n （插值方法在这里是（插值方法在这里是关键技术关键技术） 多重网格法多重网格法 n n 在精度要求不是特别高时，可以明显加在精度要求不是特别高时，可以明显加 快收敛过程快收敛过程 n n 如果精度要求非常高，效果不明显如果精度要求非常高，效果不明显 1 迭代 次数 n1 2 n2 3 n3 多重网格法多重网格法 n n 缺点：缺点： n n 程序复杂化程序复杂化 n n 专业程序开发人员专业程序开发人员 5.4.3 5.4.3 块修正法块修正法 n n Block-correction techniqueBlock-correction technique n n 基本出发点：基本出发点： n n 减少结点减少结点数目数目 n n 加快加快边界边界信息信息向求解区域向求解区域传递传递 n n 基本思想：基本思想： n n 把求解区域把求解区域分为分为若干个若干个“ “大的块儿大的块儿” ” n n 在进行下一次迭代前在进行下一次迭代前对迭代初值进行估算对迭代初值进行估算： n n 下次迭代值下次迭代值上次迭代值上次迭代值修正值修正值 n n 假定假定同一块上同一块上的节点有的节点有相同的修正值相同的修正值 块修正法块修正法 n n 对于二维问题，将对于二维问题，将方程（方程（2 2）改写）改写： n n 经过若干次迭代后，得到了近似解经过若干次迭代后，得到了近似解 * * i,ji,j n n 在此基础上，估算新的迭代值：在此基础上，估算新的迭代值： 块修正法块修正法 n n 这相当于假定这相当于假定 i,ji,j （ （j j1,2,3,1,2,3,M M）这）这MM个个 待求变量可以在待求变量可以在上次迭代值上次迭代值 * * i,ji,j的基础上 的基础上 加上同一个修正值得到加上同一个修正值得到。 n n 将方程（将方程（1212）代入方程（）代入方程（1111） 块修正法块修正法 n n 整理后得到整理后得到: : 其中，其中， 块修正法块修正法 将方程（将方程（1414）对）对j j求和，求和， 令，令， 块修正法块修正法 n n 于是有，于是有， n n 求解上述方程，得到修正量求解上述方程，得到修正量 ，代入方代入方 程（程（1212），得到新的迭代值。），得到新的迭代值。 块修正法块修正法 n n 收敛时，必然有收敛时，必然有 参见方程（参见方程（1111） ， n n 于是，于是， 从而从而 ， 块修正法块修正法 n n 所以，方程（所以，方程（1717）当迭代收敛时有）当迭代收敛时有0 0解：解： n n 当迭代没有收敛时，利用方程（当迭代没有收敛时，利用方程（1717）和）和 方程（方程（1212）可以得到更好的试探值）可以得到更好的试探值 块修正法块修正法 n说明： n n 它不是一种独立的解法它不是一种独立的解法 n它只能提供提供“ “较好较好” ”的迭代试探值的迭代试探值 n n 程序的复杂化程序的复杂化 n为了提高试探值的精度，可以采用多块修正 法 n也就是多重网格法 5.4.4 TDMATDMA的扩展的扩展 n n 增加直接求解的份额可以提高收敛速度增加直接求解的份额可以提高收敛速度 n n 沿边界逐层构造方程组进行求解沿边界逐层构造方程组进行求解 TDMATDMA的扩展的扩展 n n 优点优点 n n 最大限度地应用了最大限度地应用了TDMATDMA方法方法 n n 增加了直接求解的份额增加了直接求解的份额 n n 提高了收敛速度提高了收敛速度 n n 缺点缺点 n n 程序大大复杂化程序大大复杂化 n n 在计算机上的实现很困难在计算机上的实现很困难 n n 文献中很少采用文献中很少采用 5.55.5加速收敛的其它方法加速收敛的其它方法 n n 边界节点消去法（附加源项法）边界节点消去法（附加源项法） n n 消去边界节点待求变量消去边界节点待求变量 n n 明显减少待求变量的数量明显减少待求变量的数量 n n 正方形平面区域，边界节点所占份额正方形平面区域，边界节点所占份额4 4（N N1/2 1/2-1)/N -1)/N n n N=1000, 12.25%N=1000, 12.25% n n N=10000, 3.92%N=10000, 3.92% n n 立方体区域，边界节点所占份额（立方体区域，边界节点所占份额（6N6N2/3 2/3-11N -11N1/3 1/3+8)/N +8)/N n n N=1000, 49.8%N=1000, 49.8% n