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高等代数(下）期末考试试卷（C卷）一. 选择题（每空2分，共12分）1( D )下列集合哪一个是R n 的子空间 2( B ) 令=（x1，x2，x3）是R3的任意向量下列哪一个映射是R3的线性变换3. (C) 如果, 是线性空间V的两个子空间, 且, , , 那么为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 54. （C ）若4阶方阵A的初等因子为, l +3, l + 2. 则 A的不变因子是 () 1，（l +3），（l +2），； (B) 1，1， (l +3) (l + 2) ，；(C）1，1，（l +3），；(D) 1，1，(l +2)，； 5（ B ）设矩阵A的全部不同特征值为，则下列哪一说法与A可对角化不等价 （A） A有n个线性无关的特征向量； （B） ;（C） ;( D) A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积;6.（D） 在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为 (A) 10; （B）4； (C) 9； （D）6；.二. 填空题（每空分，共18分）1、已知是数域P上的一个固定的数，而是的一个子空间，则_， dim ()_.2. 设是的两个线性变换，定义如下, ()则 _.3. 已知的标准形为，则A的特征多项式，的最小多项式为_。4. 设，则向量是A的属于特征值 的特征向量5 若A=与B=相似，则 x =_, y=_。6设三阶实对称矩阵A的特征值，则。 三.判断题(对的打”,错的打”X”,每小题2分,共10分) 1. 对于矩阵的加法和数乘, 是的子空间 ( ）2. 任一实对称矩阵A都与对角阵既相似又合同 ( )3. 设是数域P上线性空间V的线性变换, W是一维-子空间, 那么W中任何一个非零向量都是属于特征值的特征向量. ( )4在欧几里得空间V中,保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换 必为正交变换 （ ）5与等价当且仅当它们有相同的行列式因子. （）四计算题( 共3小题, 33分)1设, 和, 是线性空间的两组基, 是的线性变换，已知 , (1) 求在基, 下的矩阵A； (2) 求基, 到基, 的过渡矩阵X ； (3) 求在, 下的矩阵。. (7分)2. 设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为 （1）令，求； （2）若与正交，求的值. （10分）3设二次型，（1）写出二次型所确定的矩阵； （2）用正交线性替换将二次型化为标准形； （3）求二次型的秩；（4）判断二次型的正定性 （16分） 五. 证明题 (每题9分，共27分)1. 设与分别是齐次方程组的解空间，证明：2证明：若是实对称矩阵，则中分别属于的不同特征值的特征向量必正交 3设是一个n维欧氏空间，是的一个对称变换，证明：值域是核的正交补. 答案 幻灯片 1幻灯片 2幻灯片 3幻灯片 4幻灯片 5幻灯片 6幻灯片 7幻灯片 8幻灯片 9幻灯片 10幻灯片 11幻灯片
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