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上海交通大学2005年工程硕士数学模拟试题1参考答案上海交通大学2005年工程硕士模拟试题1参考答案试题名称: 高等数学(含线性代数)注：本试题共五大题，22小题，满分100分一、 填空题(每小题3分，共15分)1. 2.3. 4. 的收敛半径为35. 二、 选择题(每小题3分，共15分)6. D7. D8. C9 D10. C三、 计算题(一)(每小题6分, 共36分)11.解 12.解 设13. 解 14. 求微分方程在原点处与直线相切的特解.由题意得初始条件: 特征方程为原方程, 设特解为将特解代入方程经比较得故方程的通解为 将代入, 代入得故所求特解为(另外, 也可设为的特解, 显然, 设为的特解, 可解得, . 因此, )15. 计算二重积分, 其中D 是由直线和曲线所围成的闭区域.解 16. 将展开成的幂级数, 并求收敛域.解四、 计算题(二)(每小题6分, 共24分)17. 设矩阵X满足 求矩阵X .解矩阵方程可化简为, 若矩阵(A - B)可逆, 则故18. 设讨论取何值时方程组有无穷多组解, 并求出通解.解当时方程组有有无穷多组解, 这时增广矩阵变为方程组的通解为(k为任意常数)19. 设A为三阶矩阵, 已知|A| = 5, 求 .解20. 已知三阶矩阵A的特征值为1,1,-1, 为特征值1对应的特征向量, 为特征值-1对应的特征向量, (1) A是否能相似于对角矩阵? 说明理由.(2) 求An, n 为正整数.解(1) A能相似于对角矩阵. 由于A是3阶矩阵, 且与特征值1对应A有两个线性无关的特征向量, 因此A有3个线性无关的特征向量, 所以A能相似于对角矩阵.(2) 令, 且故五、 证明题(每小题5分, 共10分)21. 设在0,1连续, 且证明:方程在0,1内只有一个根.证令, 则F(x)在0,1连续, 由于由零点定理, F(x)在(0,1)内至少有一个零点;又F(x)在(0,1)可导,且,即F(x)在(0,1)内单调递增故F(x)在(0,1) 内至多有一个零点, 即方程在0,1内只有一个根.22. 设为n 维列向量组, 它们线性无关, A 为n 阶可逆矩阵, 证明: 也线性无关.证(反证法) 设线性相关
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