复变函数与积分变换第二章.ppt

任何一个人，都必须养成自学的习惯 ，即使是今天在学校的学生，也要养成自 学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自 学，就是一种独立学习，独立思考的能力 。行路，还是要靠行路人自己。 科学是老老实实的学问，不可能靠运气来创造 发明，对一个问题的本质不了解，就是碰上机会也 是枉然。入宝山而空手回，原因在此。 学习有两个必经的过程：即“由薄到厚”和“ 由厚到薄”的过程. -华罗庚 第二章第二章 解析函数解析函数 2.1 2.1 解析函数的概念解析函数的概念 2.2 2.2 解析函数与调和函数解析函数与调和函数 2.3 2.3 初等函数初等函数 2.1 解析函数的概念 一 复变函数的导数 二 解析函数概念 三 柯西-黎曼方程 一、复变函数的导数 1. 复变函数的导数 则称 在 处可导， 设函数 在 点的某邻域内有定义，定义是 的邻域内的任意一点，如果 存在有限的极限值 A，且称 A 为 在 处的导数，记作 如果函数 在区域 D 内的每一点都可导， 在 D 内可导，此时即得 的导(函)数 则称 P22 定义 2.1 一、复变函数的导数 2. 复变函数的微分 则称 在 处可微， 设函数 在 点的某邻域内有定义，定义是 的邻域内的任意一点， 若 在区域 D 内处处可微，则称 在 D 内可微。 如果存在 A，使得 记作为微分， 特别地，有 (考虑函数 即可) 导数反映的是“变化率”；而微分更能体现“逼近”的思想 。 补 3. 可导与可微以及连续之间的关系 (1) 可导 可微 (2) 可导 连续 由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。 对二元实函数：偏导数存在 可微 偏导数连续。 一、复变函数的导数 例1 解 4. 求导法则 (1) 四则运算法则 P25 一、复变函数的导数 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的 定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则 也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以 不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 4. 求导法则 (1) 四则运算法则 (2) 复合函数的求导法则 (3) 反函数的求导法则 其中， 与 是两个互为反函数的单值 函数，且 一、复变函数的导数 二、解析函数概念 则称 在 点解析； (1) 如果函数 在 点以及 点的邻域内处处可导，定义 (2) 如果函数 在区域 D 内的每一点解析，则称 或者称 是 D 内的解析函数。在区域 D 内解析， P25 定义 2.2 (解析函数的由来) D G z0 (3) (2) 区域可导 区域解析。 关系 (1) 点可导 点解析； 函数解析是与区域密切相伴的, 要比可导的要求要高得多. 说明 (3) 闭区域可导 闭区域解析 。 奇点 通常泛指的解析函数是容许有奇点的。 以z=0为奇点。 u注解1、“可微”有时也可以称为“单演”， 而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯” 、“正则”等； u注解2、解析性与可导性的关系：在一个 点的可导性为一个局部概念，而解析性是 一个整体概念； 注解： u注解3、函数在一个点解析，是指在这 个点的某个邻域内可导，因此在这个点 可导，反之，在一个点的可导不能得到 在这个点解析； u注解4、闭区域上的解析函数是指在包 含这个区域的一个更大的区域上解析； 注解： 性质 (1) 在区域 D 内解析的两个函数 与 的和、 差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析。 (2) 如果函数 在 z 平面上的区域 D 内解析， 则复合函数 在 D 内解析。 函数 在 平面上的区域 G 内解析， 且对 D 内的每一点 z，函数 的值都属于 G， 二、解析函数概念 极限不存在 (见1.3 ) 讨论函数 的解析性。例 当 时，即 当 时，不存在。 因此， 仅在 点可导，处处不解析。 解 由有 讨论函数 的解析性。例 解 当 时， 当 时， 因此， 处处不可导，处处不解析。 对函数 如何判别其解析性？ 问题 寻求研究解析 性的更好的方 法 任务！ 用定义讨论函数的解析 性绝不是一种好办法！ 三、柯西-黎曼方程 1. 点可导的充要条件 且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann )方程： 和 在点 处可微， (简称 方程) 函数 在点 处可导定理 的充要条件是： P24 定理 2.2 求导公式 三、柯西-黎曼方程 1. 点可导的充要条件 若在 处可导，则 (关于C -R条件) 定理（函数在一点可导的充分条件）定理（函数在一点可导的充分条件） 三、柯西-黎曼方程 2. 区域解析的充要条件 和 在区域 D 内可微，且 函数 在区域 D 内解析的定理 充要条件是： 满足 C - R 方程。 推论 在区域 D 内存在且连续，并满足 C - R 方程， 在区域 D 内解析。 和 的四个偏导数 若函数 则函数 P26 定理 2.4 可知不满足 C - R 方程， 解 由有 所以 在复平面内处处不可导， 处处不解析。 讨论函数 的可导性与解析性。例 有 由 C - R 方程， 所以 仅在 点可导， 处处不解析。 解 由 讨论函数 的可导性与解析性。例 讨论函数 的可导性与解析性。例 由 C - R 方程， 解 由有 处处不解析。所以 仅在直线 上可导， x y 解 由有 由 C - R 方程可得 求解得 即得(常数)。 (1) 由 解析，证 由 解析， 为常数， 证 (常数)； (2) 由 解析， 由 在 D 内为常数，(常数)， 两边分别对 x , y 求偏导得： 若 若方程组(A)只有零解， 即得(常数)。 为常数， (A) 小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及求 导方法；掌握函数解析的充要条件并能灵活运 用. 注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数 的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求 导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格得多. 思考题 1、 2 、 2.2 解析函数与调和函数 一、调和函数 二、共轭调和函数 三、构造解析函数 一、调和函数 则称 为区域 D 内的调和函数。 若二元实函数 在区域 D 内有连续二阶偏导数，定义 且满足拉普拉斯 ( Laplace ) 方程： P27 定义 2.3 P28 定理 2.5 二、共轭调和函数 设函数 及 均为区域 D 内的调和函数，定义 函数 在区域 D 内解析的充要定理 条件是：在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。 则称 v 是 u 的共轭调和函数。 注意 v 是 u 的共轭调和函数 u 是 v 的共轭调和函数。 且满足 C - R 方程： P28 定义 2.4 三、构造解析函数 问题 已知实部 u，求虚部 v (或者已知虚部 v，求实部 u )， 使 解析，且满足指定的条件。 注意 必须首先检验 u 或 v 是否为调和函数。 方法 偏积分法 全微分法 构造解析函数 的依据： 依据 (1) u 和 v 本身必须都是调和函数； (2) u 和 v 之间必须满足 C - R 方程。 方法 偏积分法 三、构造解析函数 ( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 ) (1) 由 u 及 C - R 方程 (2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得： 其中， 已知，而 待定。 (3) 将 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函数 得到待定函数 v 的两个偏导数： (A) (B ) (C ) C 方法 三、构造解析函数 全微分法 ( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 ) (1) 由 u 及 C - R 方程得到待定函数 v 的全微分： (2) 利用第二类曲线积分(与路径无关) 得到原函数： C0 C1 C2 其中， 或 故 是调和函数。 由 解 (1) 验证 为调和函数 验证 为调和函数，并求以例 的解析函数使得 为实部 由 由 解 (2) 求虚部 。 方法一： 偏积分法 验证 为调和函数，并求以例 的解析函数使得 为实部 由 方法二： 全微分法(利用第二类曲线积分) C1 C2 验证 为调和函数，并求以例 的解析函数使得 为实部 解 (2) 求虚部 。 由 方法三： 全微分法(利用“反微分”法) 验证 为调和函数，并求以例 的解析函数使得 为实部 解 (2) 求虚部 。 解 (3) 求确定常数 c 根据条件将 代入得 即得 验证 为调和函数，并求以例 的解析函数使得 为实部 2.3 初等函数 2.3.1 指数函数 2.3.2 对数函数 2.3.3 幂函数 2.3.4 三角函数与反三角函数 2.3.5 双曲函数与反双曲函数 复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们 两者是一样的。 2.3 初等函数 的定义方式尽可能保持一致。 本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数： 定义、定义域、运算法则、连续性、解析性、单值性等等 。 特别是当自变量取实值时， 特别要注意与实初等函数的区别。 一、指数函数 对于复数称定义为指数函数 , 记为 或 注 (1) 指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数 都通过指数函数来定义。 (2) 借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆： P31 定义 2.5 一、指数函数 性质 (1) 是单值函数。 事实上，对于给定的复数 定义中的 均为单值函数。 事实上，在无穷远点有 (2) 除无穷远点外，处处有定义。 当 时， 当 时， (3)因为 性质 (6) 是以 为周期的周期函数。 一、指数函数 指数函数 的图形 二、对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数。 记作 即 满足方程的函数称为对数函数，定义 计算 令 由有 由 z 的模得到 w 的实部 ； 由 z 的辐角得到 w 的虚部 。 P32 定义 2.6 二、对数函数 显然对数函数为多值函数。 主值(枝) 称为 的主值(枝)， 记为 故有 分支(枝) 特别地，当 时, 的主值 就是实对数函数。 对于任意一个固定的 k，称 为 的 一个分支(枝)。 二、对数函数 性质在原点无定义，故它的定义域为(1) (2) 的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续； 在除去原点及负实轴的平面内连续。特别地， 注意到，函数在原点及负实轴上不连续。 注意到，函数在原点无定义； 或者指数函数 由反函数求导法则可得 进一步有 (在集合意义下) 二、对数函数 性质 (3) 的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析； 在除去原点及负实轴的平面内解析。特别地， 三种对数函数的联系与区别： 对数函数Lnz的图形 主值 解 (1) (2) 主值 解 主值 求对数 以及它的主值。例 可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。 三、幂函数 称为复变量 z 的幂函数。 还规定：当 a 为正实数，且 时， ( 为复常数， )定义 函数 规定为 注意 上面利用指数函数以一种“规定”的方式定义了幂函数， 但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数， ? 即 P33 定义 2.7 讨论 此时， 处处解析，且 当 为正整数时, (单值)(1) 此时， 除原点外处处解析，且 当 为负整数时, (2)(单值) 当 时, (3) 三、幂函数 讨论 其中，m 与 n 为互质的整数，且 (5) 当 为无理数或复数( )时， 当 为有理数时, (4)( 值)n 此时， 除原点与负实轴外处处解析， 一般为无穷多值。 此时， 除原点与负实轴外处处解析。 且 三、幂函数 的图形 解 可见， 是正实数，它的主值是 例 求 的值。 求 的值。例 解 可见，不要想当然地认为 四、三角函数 启示 由欧拉公式有 余弦函数 正弦函数 定义 P34 定义 2.8 其它三角函数 四、三角函数 性质 周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样； 各种三角公式以及求导公式可以照搬； 有界性(即 )不成立。 (略) sinz 的图形 cosz 的图形 tanz 的图形 例 求 根据定义，有解 例 求 根据定义，有解 五、反三角函数 记为 如果定义则称 w 为复变量 z 的反余弦函数， 计算 由 同理可得 反三角函数Arctanz的图形 六、双曲函数与反双曲函数 双曲正切函数 双曲余切函数 双曲正弦函数定义 双曲余弦函数 P36 定义 2.9 双曲函数sinhz（或shz） 六、双曲函数与反双曲函数 反双曲正切函数 反双曲余弦函数 反双曲正弦函数定义 反双曲余切函数 P36 小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数 范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基 本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性 2. 三角正弦与余弦不再具有有界性 3. 双曲正弦与余弦都是周期函数 思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有 哪些异同? 本章总结 1、复变函数导数与解析函数的概念 2、函数可导与解析的判别方法：1）利用定义； 2）利用充（分）要条件 3、解析函数与调和函数的关系 4、复变初等函数 复 变 函 数 连续 初等解析函数 判 别 方 法 可导 解析 指数函数 对数函数 三角函数 双曲函数 幂 函 数 本章内容总结 解析函数与调和 函数的关系 第二章 完 附：知识广角 解析函数的由来 解析函数的名称是康道尔西(Condorcet)首先使用的。他的 研究报告没有公开出版，但有很多人知道他的工作。 在康道尔西使用该名称 20 年之后，拉格朗日(Lagrange)也 使用了解析这个术语，他在解析函数论中将能展开成 级数的函数说成是解析函数。 现在所使用的解析函数的概念，则基本上是在魏尔斯特拉 斯(Weierstrass)的著作中形成的。 (返回) 1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。 附：知识广角 关于 C - R 条件 1746年，达朗贝尔(DAlemert)在研究流体力学时首先提到 了如下的关系式： 若函数 是解析函数，则上述关系式成立。 1777年，欧拉的两篇研究报告(1793年与1794年才发表)中 , 证明了条件的必要性，即 附：知识广角 关于 C - R 条件 1851年，上述关系式在黎曼的第一篇重要论文(博士论文) “复变函数论的基础”中再次出现。黎曼把它当作了解析 函数定