北京市西城区中考复习《相似》《解直角三角形》建议讲义及练习.doc

北京市西城区重点示范中学2016年3月九年级数学中考复习相似、解直角三角形复习建议及练习一、2016年北京考试说明（一）图形的性质 1. 相似三角形：A. 了解相似三角形的性质定理与判定定理；B. 能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题。2. 锐角三角函数及解直角三角形A. 理解锐角三角函数 (sinA，cosAtanA)的概念；知道30、45、60角的三角函数值，理解（2015年是“了解”）解直角三角形的概念；B. 能利用锐角三角函数的有关知识解直角三角形，能利用锐角三角函数的有关知识解决一些（2015年是“某些”）简单的实际问题； C运用直角三角形的有关内容解决有关问题。（二）图形的变化 3. 图形的相似：A. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解黄金分割；认识图形的相似；了解相似多边形和相似比；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；B. 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（2015年新增）；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。（三）图形与坐标 4. 坐标与图形运动：A. 在平面直角坐标系中，知道已知顶点坐标的多边形经过位似（位似中心为原点）后的对应顶点坐标之间的关系；了解将多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形位似；B. 在平面直角坐标系中，能写出已知顶点的多边形经过位似（位似中心为原点）后的图形的顶点坐标；C. 运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题。 二、复习建议1按照考试说明的要求进行全面复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的A级知识点适当安排、不漏过、不随意拔高难度；2B级的知识要落实到位；C级知识要达到灵活运用；3注重方程思想在相似、解直角三角形中的使用；4教会学生观察复杂的几何图形，善于分解出基本图形，熟练的应用几何中定义、定理、公式来解题； 5. 逆向思维是寻求几何证明思路的有效途径之一；6. 去模式化，重知识，重思想；7. 重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导。8. 课时安排：相似 约2课时解直角三角形 约2课时三、具体内容相似三角形的性质与判定落实一： 能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题落实二： 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例落实三： 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题落实四： 能利用位似变换将一个图形放大或缩小，并能写出以位似中心为原点的位似变化前后点的坐标变化例1. 如图，在平行四边形中，点在上，连接并延长与的延长线交于点，若，则的值是_.CABDEF例2. 如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DECE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F,若AB=9,BF=7,求DE长.例3. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为 米例4. 如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）作如下操作：以点A为旋转中心，将ABO顺时针方向旋转90，得到AB1O1；以点O为位似中心，将ABO放大，得到A2B2O，使相似比为12，且点A2在第三象限（1）在图中画出AB1O1和A2B2O；（2）请直接写出点A2的坐标：_ 例5. （ZFX / P70例4）已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12,点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P.（1）设DE=m(0m12)，试用含m的代数式表示的值；（2）在（1）的条件下，当时，求BP的长. 例6. 含30角的直角三角板ABC中，A=30.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（0o90o），得到Rt，边与AB所在直线交于点D，过点D作DE交边于点E，连接BE. 求证：CBE=30.练习：1. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，SDEF：SABF=4：25，则DE：EC= 2. 如图，点A，B，C，D为O上的四个点，AC平分BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为 3. 某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点（ACBC），则AC的长为_.（结果精确到0.1m）4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P则点P的坐标为 5. （ZFX / P69例2）已知：如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD与点P，Q. （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）；（2）求BP:PQ:QR的值. 6.（ZFX / P69例3）已知：如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=3cm,BC=7cm,B=60,P为下底BC上一点（不与B、C重合）. 连接AP，过P点作PE交DC于E，使得APE=B (1) 你认为图中哪两个三角形相似，为什么？(2) 当点P在底边BC上自点B向C移动过程中，是否存在一点P，使得DE:EC=5:3，如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由. 7. 在矩形ABCD中，DC=2，CFBD分别交BD、AD于点E、F，连接BF（1）求证：DECFDC；（2）当F为AD的中点时，求sinFBD的值及BC的长度 8. 如图，在RtABC中，C=90，翻折C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若CEF与ABC相似当AC=BC=2时，AD的长为 ；当AC=3，BC=4时，AD的长为 ；（2）当点D是AB的中点时，CEF与ABC相似吗？请说明理由9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（5，2）（1）请画出ABC关于x轴对称的A1B1C1（2）将A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出A2B2C2（3）求A1B1C1与A2B2C2的面积比，即：= （不写解答过程，直接写出结果）相似的综合应用1. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图像过点（1） 求反比例函数的表达式；（2）co过点的直线与反比例函数图像的另一个交点为，与轴交于点，若，求点的坐标2. 在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处（如图1）图1 图2（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接,OP、OA已知OCP与PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN、 PB，交于点F，过点M作MEBP于点E在图1中画出图形；在OCP与PDA的面积比为1：4不变的情况下，试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？请你说明理由3. 如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且BOC=60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.（1）当t=秒时，则OP=，SABP=；（2）当ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQBP，并使得QOP=B，求证：AQBP=3.为了证明AQBP=3，小华同学尝试过O点作OEAP交BP于点E。试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQBP=3备用图图2图14. 已知：如图，为O的直径，为AB上一点，过作弦，在上取一点，分别作直线，交直线于点，分别连结OE，CO，CM.(1)若G为OA的中点.COA= ，FDM= ；.(2)如图，若为半径上任意一点(不与点O、B重合)，过作弦，点在上，仍作直线，分别交直线于点，分别连结OE，CO，CM.依题意补全图形； 此时仍有FDOM=DMCO成立.请写出证明FDOM=DMCO的思路.（不写出证明过程）5已知：ABC，DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE.（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；（2）ABC固定不动，将图1中的DEF绕点M顺时针旋转（）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由； 图2备用图图1 解直角三角形落实一：锐角三角函数的定义例1：（1）. 在RtABC中，那么的值为_.（2）在Rt中，C=90，BC=1，那么AB的长为_.（3）在ABC中，C=90，cosA=，求sinA 、tanA的值.（4）如图，AB是O的直径，C、D是圆上的两点.若BC=8， 则AB的长为( ). A B C D12（5）已知：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tanADC的值.（6）（ZFX P74例(5)）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是，则sin的值为_.落实二：特殊角的三角函数值例2：（1）. 如果是锐角，且sinA=，那么_（2） 计算：1. 2. 2sin260tan45+cos30tan303. 4. 5. 落实三：解直角三角形，能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形例3：如图，在ABC中，A=30，B=45，AC=，求AB的长. 例4：如图，在四边形ABCD中，C=120，B=75，CD=4，BC=，cosA=. 求AD的长. 例5：如图，在四边形中，对角线交于点， 求的长和四边形的面积例6：（ZFX / P75例5）在ABC中，A=30，BC=3，AB=，求BCA的度数和AC的长。练习：1. 如图，已知O的半径为1，锐角ABC内接于O，BDAC于点D， OMAB于点M，则sinCBD的值等于（）AOM的长 B2OM的长 CCD的长D2CD的长2. 如图，已知l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等， 若等腰直角ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sin的值是（）ABCDACBDE3. 把两块含有300的相同的直角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一条直线上，连结CD，若AC=6cm，则BCD的面积是 _ 。 4如图，在菱形ABCD中，DEAB于点E，cosA=，BE=4，则tanDBE的值是 5如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD=，BP=，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tanPEF= 6.如图，在RtABC中，C=90，点D在AC边上若DB=6，AD=CD， sinCBD=，求AD的长和tanA的值7.（ZFX / P75例3）如图，在ABC中，C=90，A=30，E为AB上一点，且AE：EB=4:1，EFAC于点F，连接FB.求tanCFB的值. 8.（ZFX / P75例4）（1）如图，在ABC中， ACB=105，A=30，AC=8，求AB和BC的长？（2）在ABC中， ABC=135，A=30，AC=8，求AB和BC的长？（3）在ABC中，AC=17，AB=26，锐角A满足sinA=，求BC的长及ABC的面积？若AC=3，其他条件不变呢？解直角三角形的实际应用落实一：能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题落实二：会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题落实三：能综合运用直角三角形的性质解决有关的问题例1：如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度他们采取的方法是：先在地面上的点A处测得杆顶端点P的仰角是45，再向前走到B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和30，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出电线杆PQ的高度.你同意他们的测量方案吗？若同意，画出计算时的图形，简要写出计算的思路，不用求出具体值；若不同意，提出你的测量方案，并简要写出计算思路. 例2：如图，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14米处是观景台，即BD14米，该观景台的坡面CD的坡角CDF的正切值为2，观景台的高CF为2米，在坡顶C处测得电线杆顶端A的仰角为30，D、E之间是宽2米的人行道，如果以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，人行道是否在危险区域内？()例3：在一次数学实践活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度（参考数值：）例4：如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）练习：1、两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60方向，在N处测得点C位