天津科技大学高等数学试题库（定积分）答案.doc

定积分一、填空题难度系数0.2以下：1.由定积分的几何意义可知，定积分的值是 .2.由定积分的几何意义知_ _.3.由定积分的几何意义知_ _.4.由定积分的几何意义知_ 0 _.5.一物体以速度做直线运动，则物体在到这段时间内行进的路程为_ _.6.比较大小， _.（用“”、“”或“” 填空）7.比较大小， _.（用“”、“”或“” 填空） 8.比较大小， _.（用“”、“”或“” 填空）9.比较大小， _.（用“”、“”或“” 填空）10. 0 .11. .12. .13. .14. .15._.16._.17._.18.求极限_.19.求极限_.20.求极限 .21.若，则的值等于_2_.22.若，则_-2_.23.已知，则_9_.24.由不等式所确定区域的面积 .25.由椭圆所围成图形的面积 .26.由圆与直线所围成图形的面积 .27.由圆与直线所围成图形的面积 .28.由曲线，与直线所围成图形的面积 2 .29.由曲线与直线,所围成图形的面积 2 .30.由曲线与直线,所围成图形的面积 1 .31.由不等式所确定区域的面积 .难度系数0.20.4：1._.2.设为上的连续函数，且，则_.3.求极限 .4.求极限_1_.5. .6. 0 .7. 0 .8. .9.设连续，且，则 .10.若，则 .11. .12.若，则 .13.由曲线，与直线所围成图形的面积 .14.由曲线，在上所围图形的面积 .15.用定积分表示由曲线与直线及所围成图形的面积 4 . 16.由圆所围图形绕轴旋转一周形成一个球体，其体积值= .难度系数0.40.6：1.反常积分，当取 时收敛.2. .3.函数在上的最大值是 2 .4.由单位圆所围图形绕轴旋转一周形成一个球体，其体积值= .5.用定积分表示曲线方程上对应一段弧长的弧长的值= .难度系数0.6以上：1.若，则 1 .2.设正值函数在上连续，则函数在上至少有 1 个根.3.一立体以抛物线与直线围成区域为底，而用垂直于轴的平面截得的截面都是正方形，则平行截面面积= ；其体积= .二、单项选择题难度系数0.2以下：1.定积分值的符号为（ B ）.（A）大于零； （B）小于零； （C）等于零； （D）不能确定.2.下列等于1的积分是（ C ）.（A）； （B）； （C）； （D）.3.（ D ）.（A）； （B）； （C）； （D）.4.（ B ）.（A）； （B）； （C）； （D）0,5.，则（ C ）.（A）0； （B）-1； （C）1； （D）2.6.与的大小关系是（ A ）.（A）； （B）； （C）； （D）无法确定.7.下列式子中，正确的是（ C ）.（A）； （B）； （C）； （D）.8.已知自由落体运动的速度，则落体运动从到所走的路成为（ C ）.（A）； （B）； （C）； （D）.9.积分中值定理，其中（ B ）.（A）是内任一点； （B）是内必定存在的某一点； （C）是内唯一的某一点； （D）是的中点.10.设在连续，则（ A ）.（A）是在上的一个原函数； （B）是的一个原函数； （C）是在上唯一的原函数； （D）是在上唯一的原函数. 11.设且在连续，则（ B ）.（A）； （B）必存在使； （C）存在唯一的一点使； （D）不一定存在点使. 12.函数在上连续是在上可积的（ B ）.（A）必要条件； （B）充分条件； （C）充要条件； （D）无关条件.13.下列各积分中能够直接应用牛顿莱布尼茨公式的是（ C ）.（A）； （B）； （C）； （D）.14.极限（ C ）.（A）-1； （B）0； （C）1； （D）2.15.（ B ）.（A）； （B）； （C）； （D）.16.定积分（ B ）.（A）； （B）； （C）； （D）.17.设函数在上的连续，则 （ C ）. （A）； （B）0； （C）； （D）.18.已知为偶函数且，则 （ D ）. （A）0； （B）4； （C）8； （D）16.19.（ D ）. （A）； （B）； （C）； （D）.20.由椭圆所围成图形的面积（ A ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .21.由圆与直线所围成图形的面积（ B ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .22.由圆与直线所围成图形的面积（ A ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .23.由曲线与轴，直线，所围成图形的面积（ B ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) 24.由不等式所确定区域的面积（ ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .难度系数0.20.4：1.设，其中为连续函数，则（ A ）.（A）； （B）； （C）； （D）.2.下面命题中错误的是（ A ）.（A）若在上连续，则存在； （B）若在上可积，则在上必有界； （C）若在上可积，则在上必可积； （D）若在上有界，且只有有限个间断点，则在上必可积. 3.下列积分值为零的是（ C ）.（A）； （B）； （C）； （D）.4.下列反常积分收敛的是（ B ）.（A）； （B）； （C）； （D）.5.下列反常积分收敛的是（ C ）.（A）； （B）； （C）； （D）.6.（ D ）.（A）2； （B）-1； （C）； （D）不存在.7.函数在上的平均值为（ B ）.（A）； （B）； （C）； （D）.8.定积分的值是（ C ）.（A）； （B）； （C）； （D）.9.关于反常积分，下列结论正确的是（ C ）.（A）积分发散； （B）积分收敛于0； （C）积分收敛于-1； （D）积分收敛于1.10.由不等式所确定区域的面积（ ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .11.由相交于点及的两条曲线，且所围图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积=（ B ）.(A) ； (B) ；(C) ； (D) .难度系数0.40.6：1.设，当时，是的（ B ）无穷小量.（A）高阶； （B）同阶非等价； （C）高阶； （D）低价.2.设，则（ A ）.（A）有极小值； （B）有极大值； （C）有极大值； （D）有极小值.3.设在上连续且为奇函数，则（ B ）.（A）是奇函数； （B）是偶函数； （C）是非奇非偶函数； （D）（A）、（B）、（C）都不对.4.（ C ）.（A）1； （B）-1； （C）0； （D）.5.广义积分的收敛发散性与的关系是（ B ）.（A）时收敛，时发散； （B）时收敛，时发散；（C）时收敛，时发散； （D）时收敛，时发散.6.曲线，（）及轴所围图形面积（ ）. (A) ； (B) ； (C) ； (D) .7.曲线与直线、所围图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积（ C ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .难度系数0.6以上：1.若，则（ D ）.（A）3； （B）4； （C）5； （D）6.2.设连续，已知，应是（ C ）.（A）2； （B）1； （C）4； （D）.3.由心形线所围成图形的面积（ D ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .三、计算题难度系数0.2以下：1. 解：.2. 解：.3. 解：.4. 解：.5. 解： 6. 解： 7.解： 8. 解：.9. 解：.10. 解：.11. 解：12. 解：13.解： 14解：15.解：16.解：17.解： 18.解.19.解：.20. 解：21. 解： 22. 解：23.解：.24.解：.25.解：.26.解：.27.解：28.解：29. 解：30.解：31.解：32.解：33.解：34.解：35.解：36.解：37.解：38.解：.39.解：.40.解：令，则.于是.41.解：令，则.于是.42. 解：令，则，于是 43.解：令，则，于是 44.解： 45.解：.46.设函数，求定积分.解：.47.设函数，求定积分.解：.48.设函数，求定积分.解：49.解：50.解：51.解：.52.解|：.53.解：.54.解：55.解：56.解： 57.解：58.求极限解：59.求下列极限解：60.设，求，解：，61.计算由曲线与轴围成平面图形的面积.解： .62.计算由曲线与轴、轴及直线围成平面图形的面积.解： .63.求由直线与曲线围成的平面图形的面积.解：.难度系数0.20.4：1.解： 2.解：.3. 解：4. 解：5.解： 6.解：令，则，于是7.解：令，则，于是8. 解：令，则，于是9.解：令，则，于是 10. 解：.11. 解：.12.解：.13.解：.14.解 15.解：16.解：令，17.解：18. 解：19.解：因为 ， 有，所以 20.求由所决定的隐函数对的导数.解：等式两边同时对求导，得，即.21.设隐函数由方程所确定，求.解：等式两边同时对求导，得，解得.22.求由方程确定的函数的导数.解：等式两边同时对求导，得，解得.23.设函数 求定积分.解：令，则.24.设函数 求定积分.解：令，则.25.解： 26. 解：27. 解：28. 解： 29.解：令，则，于是30.求函数的极值解：，,令得函数的驻点，又，所以时函数有极小值31.求极限解：32.求极限解：33.求极限解：=34.解：35若函数连续，设，求.解：，根据乘积求导法则，36.计算反常积分的值解： 37.计算反常积分.解： 38.判定反常积分的敛散性，若收敛，计算其值解：故反常积分收敛于139.判定反常积分的敛散性，若收敛，计算其值解：故反常积分收敛于40.计算由抛物线曲线与直线围成平面图形的面积. 解：两条曲线交点为，得（-1，5），（3，-3），.41.求由双曲线及直线、围成平面图形的面积.解：取为积分变量，则.42.求由抛物线及它在点与点的两条切线与所围成区域的面积. 解：如图，两切线与的交点为，所求面积为： .43.求由双曲线与直线及围成的平面图形的面积.解：.44.求由曲线，与直线围成的平面图形的面积.解：.45.求由抛物线与直线围成的平面图形的面积.解：.46.求由抛物线与直线围成的平面图形的面积.解：.47.求由曲线，直线及轴围成的平面图形的面积.解：.48.求由曲线与直线及围成的平面图形的面积.解：.49.求由不等式组，所确定的平面区域的面积.解：.50.求由不等式所确定的平面区域的面积.解：.51.计算由两条曲线与围成平面图形的面积.解：两条曲线交点为，得（-3，-6），（1，2）.52.求由曲线，及轴围成的区域绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.解：53.求由，及轴所围成图形分别绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.解：所求的体积.54.求由，及轴所围成图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.解：所求的体积.55.求由曲线，及轴围成的区域绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.解：.56.求由曲线与围成的区域绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.解：.57.求由曲线与围成的区域绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.解：.58.求底半径为，高为的圆锥题体积.解： .59.一立体以抛物线与直线围成区域为底，而用垂直于轴的平面截得的截面都是等边三角形，求该立体体积.解： .60.一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成角，计算这个平面截下的圆柱体体积.解： .61.计算曲线从到一段的弧长.解：.62.计算曲线从到一段的弧长.解：.63.计算曲线从到一段的弧长.解：.64.计算星形线的全长.解：.难度系数0.40.6：1. 解：2已知，求定积分解： 对积分，令，则，所以3若，求值.解：左式右式由，左式右式，有，得或4.求函数在区间上的最大值与最小值解：，令得在内无驻点，又故最大值为，最小值为5.设有一个原函数为，求解：由已知，得，令，6.已知，求.解：，7.解：8.若函数 求的表达式.解：当时，当时，当时，.所以9.设函数，求在上的表达式，并讨论在内的连续性.解：当时，；当时，；当时，；当时，.因为在内是初等函数，故连续.于是只须讨论处的连续性即可.,在处连续，故在内的连续.10.已知函数连续，且，求函数.解：设，则，于是，得，所以.11.设在上连续，且，求 .解：.12计算.解： .13.解： 14.设，问当A为何值时，在点处可导，并求出.解：(1)由在点处可导，可知在点处必连续,因此,. (2) .15.求由位于轴上方，下方，上过原点的切线的左侧所围成的平面区域的面积.解：曲线上过原点的切线方程为，则.16.求由椭圆围成的平面图形的面积.解：.17.求由星形线围成的平面图形的面积.解：.18.求由圆围成的平面图形的面积.解：.19.求由摆线，的一拱（）与横轴所围成的图形的面积. 解： 所求面积为.20.求值，使直线平分由抛物线和轴围成区域的面积.解：由, 有.21.求抛物线及其在点处的法线所围成的图形的面积.解：抛物线及其在点处的法线方程为，所求面积为.22.求抛物线及其在点和点处的切线所围成的图形的面积.解：抛物线在点和点处的切线分别为为和,.23.求由曲线及直线和所围图形绕轴旋转一周形成旋转体的体积.解：所求的体积.24.求由不等式及确定的区域绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.解：.25.求由曲线，及轴围成的区域绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.解：.26.求由曲线，及轴围成的区域绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.解： .27.求由圆盘围成的区域绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.解：.28.求由摆线的第一拱与轴围成的区域绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.解：.29.求由抛物线，轴及上过原点的切线围成区域的面积，以及该区域分别绕轴及轴旋转一周所成的旋转体体积.解：切线方程为,所围成区域的面积.30.求由抛物线，轴及上过原点的切线围成的区域分别绕轴及轴旋转一周所成的旋转体体积.解：切线方程为,;.31.求由曲线与直线及围成的区域绕直线旋转一轴所形成的立体体积.解：.32.求由抛物线，直线及围成的区域分别绕直线及直线旋转一周所成的旋转体体积.解：;.33.求由轴、抛物线和直线围成区域分别绕轴和轴旋转一周所得的旋转体体积与.解：;.34.抛物线及直线所围成的图形绕轴旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积.解：由得交点的横坐标为， .35.在曲线（）上某点处作一切线，使之与曲线以及轴围成的图形面积为1/12，试求（1）切点的坐标；（2）过切点的切线方程；（3）由上述区域绕轴旋转一周所形成的旋转体体积. 解：设所求点为，切线斜率为，切线方程为，当时，得切线与轴交点的横坐标为.由已知 ，得，于是所求点为；切线方程为，即；旋转体体积为 .36设直线与直线及所围梯形面积等于 ，试求使这块区域绕轴旋转一周所得旋转体体积最小.解：； . 令，则. 又，且驻点唯一，因此当时，体积取得最小值.难度系数0.6以上：1.解：2.若函数满足，且，求.解： 因为 所以 两边求导数，得 ，取，.3若函数连续，且满足，当时，求解：对积分作换元，则，于是，即，两边对求导，有，即，所以4当为何值时，反常积分收敛？当为何值时，这个反常积分发散？又问当为何值时，这个反常积分取得最小值？解：当时，反常积分发散当时，反常积分发散当时，反常积分收敛所以，当时，该反常积分收敛于，当时，该反常积分发散在时，记，则，由，得唯一驻点，当时，当时，所以是函数的极大值点，也是最大值点，从而是的最小值点，所以当反常积分取最小值5.设直线与直线及所围梯形面积等于，试求使这块区域绕轴旋转一周所得旋转体体积最小.解：； ; 令，则. 又，且驻点唯一，因此当时，体积取得最小值.6.设直线与抛物线所围成图形的面积记作；由直线、抛物线及所围成图形的面积记作 （1）求值，使+最小； （2）求+取最小值对应的图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积.解：（1）由 得交点的横坐标为， ，记（），由，得惟一驻点，于是，当时，+取最小值. ， 当，得7如图，由曲线，直线及轴围成图形为；由曲线，直线及围成图形为，（1）求值，使，（2）求由上述图形绕轴旋转一周所形成的旋转体体积. 解： ， ，由，有，得（舍去） ，当时，得.8在抛物线 上求一点,使该点的切线与两坐标轴围成的三角形面积最小,求出面积的最小值.解: 设切点,则切线方程为.切线与轴,轴的坐标分别为和.因此三角形面积 .令,得驻点.当时, ;当时, .故为的极小点.又驻点惟一,故极小值点就是最小值点,因此最小面积为.四、应用与证明题难度系数0.20.4：1证明下列不等式：证明：在区间上显然有，所以.2证明下列不等式：证明：设，在区间上，于是函数在区间上单调增加，从而，即在区间上，所以.3证明：当时，函数取得最小值.证明：函数在内有定义，由得唯一驻点，又，于是是函数的唯一极小值点，从而也是最小值点，所以当时，函数取得最小值.4.求证： .证明：在区间上的最大值、最小值分别为，5证明不等式证明：设，则，由，在区间内得驻点，又，于是函数在区间的最小值为，最大值为，从而，因为，所以 6.设是以为周期的连续函数，证明：的值与无关.证明：记， 则 从而知与无关，因此，即.7.设（为正整数），证明：证明： .8若函数连续，证明.证明：令，则右边左边.9若函数连续，证明证明：令，则 10若函数连续，证明 .证明：令，则11若函数连续，证明.证明：令，则12证明等式证明：左边对上式中的第一个式子，令，得，所以左边右边13证明：令，则 ，于是，所以， 14设函数在闭区间连续，且，证明方程在开区间有且仅有一个实根.证明：设，根据已知，函数在闭区间连续，又 ，由于连续函数，则，从而，由零点定理得方程在开区间至少有一个实根.而，单调增加，于是方程至多有一个实根，即方程在开区间至多有一个实根. 综上，证明方程在开区间有且仅有一个实根.15.设函数在上连续，在内可导，且，证明在内.证明 又在内，在内，单调减少，, 即，且，故内16.已知是连续函数，证明：证明：等式左边 对上式中第二项作变换，则，于是等式左边右边17.设连续函数是奇函数，证明：是偶函数证明：设，则 令，则，故 因连续函数是奇函数，因此 故 因此是偶函数18.若在连续，证明：解：因 所以19.设，其中在上连续，单调递增，且，证明：在上连续且单调递增。证明： 当时，显然连续，又故在处连续，从而在上连续，由于单调递增，则，故单调递增20.由物理实验知道：弹簧在拉伸过程中，需要的力（单位：）与伸长量（单位：cm）成正比，即（为比例系数）.如果把弹簧由原长拉伸10 cm，计算力所做的功.解：.21借助现有的一面墙，围建一个长方形小院，如果建筑材料只够砌16(m)长的墙，如何设计才能使小院面积最大？ 解:如图，设小院的长为，宽为，面积为，得唯一驻点于是最大值点 则， 由，得唯一驻点，于是是最大值点， 所以，当长为8米、宽为4米时，面积最大（为32平方米）难度系数0.40.6：1.设在上连续，证明：证明：2.设在区间上可微，且满足条件，试证：存在，使.证明：设，由积分中值定理可知，存在，使从而，可知在上满足罗尔定理，所以存在，使，即.3用定积分中值定理求下列极限：（1） （2） 解：（1）由定积分中值定理，（其中），于是 （2）由定积分中值定理，（其中），由，有等价于，于是4.设，在区间上连续，为偶函数，且满足条件（为常数），（1）证明：；（2）利用（1）结论计算定积分证明：（1），令，所以 （2）取，且，所以5若函数在区间上连续，且