复变函数的积分(1).ppt

本章学习目标 1了解复变函数积分的概念; 2了解复变函数积分的性质; 3掌握积分与路经无关的相关知识; 4熟练掌握柯西古萨基本定理; 5会用复合闭路定理解决一些问题; 6会用柯西积分公式; 7会求解析函数的高阶导数. 复变函数的积分 l3.1 复变函数积分的概念 l3.1.1积分的定义 l本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后 讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是 解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性 质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我 们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。 3.1.2积分存在的条件及其计算方法 l1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑) 曲线时，积分是一定存在的。 l2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。 3.1.3 积分的性质 l从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质 ，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的. l我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓 简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时， 曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为 简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的 情形，如无特别声明，总是指曲线的正向. 3.1.3 积分的性质 l1 l2 l3 l4 例1计算 其中 为从原点到点 的直线段。 l解 直线的方程可写成 l又因为 l容易验证，右边两个线积分都与路线 无关， 所以 的值无论 是怎样的曲线都等于 例2计算 其中 为以 中心， 为半径的正向圆周, 为整数. 解: 的方程可写成 所以 因此 例3计算 的值，其中 为沿从（ 0，0）到（1，1）的线段： l解 : 例4计算 的值，其中 为沿从（ 0，0）到（1，1）的线段与从（1，0 ）到（1，1）的线段所连结成的折线 。 l解 : 3.2 柯西古萨（CauchyGoursat ）基本定理 l3.2.1 积分与路经无关问题 l积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分 值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及 区域的单连通性有关. l柯西古萨（CauchyGoursat）基本定理 如果函数在单连域内处处解析，那末函数沿内 的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即 l 3.2.3 几个等价定理 l定理一 如果函数 在单连域内处处解析， 那末积分 与连结从起点到终点的路 线 无关. l定理二 如果函数 在单连域 内处 处解析，那末函数 必为内的解析函数,并 且 原函数的概念 l下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首 先引入原函数的概念： l结论： 的任何两个原函数相差一个常数。 l利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿 莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公 式。 l定理三 如果函数 在单连域内处处解析， 为 的一个原函数， l那末 这里 为区域 內的两点。 例 5 计算 l解： 例 6 计算 l解： 例7 计算 l解： 例8 计算 l解： 3.3 基本定理的推广复合闭路定理 l我们可以把柯西古萨基本定理推广到多连域 的情况 . l在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值， 这一重要事实，称为闭路变形原理. 例9计算 的值， 为包含圆周 在内的任何一条正向简单闭曲线。 l解 : 3.4 柯西积分公式 l定理(柯西积分公式) 如果函数 在区域 内 处处解析， 为内 的任何一条正向简单闭曲 线,它的内部完全含于 , 为 内的任一点,那 末 l (3.4.1) l公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式 就可以把一个函数在 内部任何一点的值,用 它在边界上的值来表示. 例10计算 (沿圆周正向) l解 由公式(3.4.1)得 例11计算 (沿圆周正向) l解 由公式(3.4.1)得 l柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积 分表达式,是研究解析函数的有力工具 l(见3.5解析函数的高阶导数). l一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平 均值 . 3.5 解析函数的高阶导数 l一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶 导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实 变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不 能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶 导数我们有下面的定理 l定理 解析函数的导