全国初中数学联赛初赛试卷（下）.docVIP

Su.15第 1 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1. 设 71a ，则 32 312612aaa （ A ） A.24. B. 25. C. 4 7 10 . D. 4 7 12 . 2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC （ C ） A.7 2. B. 10. C. 105 . D. 7 3. 3用 x 表示不大于x的最大整数，则方程 2 2 30xx 的解的个数为 （ C ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. Su.15第 2 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出 两个，它们的面积相等的概率为 （ B ） A. 3 14. B. 3 7. C. 1 2. D. 4 7. 5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE， 则sinCBE （ D ） D A B C E A. 6 3 . B. 2 3. C. 1 3. D. 10 10 . 6设n是大于1909的正整数，使得 1909 2009 n n 为完全平方数的n的个数是 （ B ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1已知t是实数，若 , a b是关于x 的一元二次方程 2 210xxt 的两个非负实根，则 22 (1)(1)ab 的最小值是_ 3 _. 2 设D是ABC的边AB上的一点，作DE/BC交AC于点E，作DF/AC交BC于点F，已知ADE、 DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为_2 mn_. 3如果实数 , a b满足条件 22 1ab ， 22 |1 2| 21ababa ，则a b_1 _. 4已知 , a b是正整数，且满足 1515 2() ab 是整数，则这样的有序数对( , ) a b 共有_7_对. Su.15第 3 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 第二试 （A） 一 （本题满分20分）已知二次函数 2 (0)yxbxcc 的图象与x轴的交点分别为A、B，与 y 轴 的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P. （1）证明：P与 y 轴的另一个交点为定点. （2）如果AB恰好为P的直径且 2 ABC S ，求b和c的值. 解 （1）易求得点C的坐标为(0, ) c ，设 1 A( ,0)x ， 2 B(,0)x ，则 12 xxb ， 12 x xc . 设P与 y 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以 OAOBOCOD，则 12 1 x xcOA OB OD OCcc . 因为 0c ，所以点C在 y 轴的负半轴上，从而点D在 y 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为 (0,1). （2）因为ABCD，如果AB恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点C的坐标为(0, 1) ， 即 1c . 又 222 121212 ()4()44ABxxxxx xbcb ，所以 2 11 4 12 22 ABC SAB OCb ，解得 2 3b . 二 （本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高， 1 I 、 2 I 分别是ADC、BDC的内 心，AC3，BC4，求 1 I 2 I . 解 作 1 I EAB于E， 2 I FAB于F. 在直角三角形ABC中，AC3，BC4， 22 AB =AC +BC5 . F E I1 I2 D B A C Su.15第 4 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 又CDAB，由射影定理可得 2 AC9 AD = AB5 ，故 16 BD = AB AD 5 ， 22 12 CD =ACAD 5 . 因为 1 I E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以 1 I E 13 (AD CD AC) 25 . 连接D 1 I 、D 2 I ，则D 1 I 、D 2 I 分别是ADC和BDC的平分线，所以 1 I DC 1 I DA 2 I DC 2 I DB45，故 1 I D 2 I 90，所以 1 I D 2 I D， 1 1 1 3 I E3 2 5 DI sinADIsin455 . 同理，可求得 2 4 I F 5 ， 2 4 2 DI 5 . 所以 1 I 2 I 22 12 DIDI2 . 三 （本题满分25分）已知 , ,a b c 为正数，满足如下两个条件： 32abc 1 4 bcacababc bccaab 证明：以 ,abc 为三边长可构成一个直角三角形. 证法1 将两式相乘，得 ()()8 bcacababc abc bccaab ， 即 222222 ()()() 8 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 440 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 0 bcacababc bccaab ， Su.15第 5 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 即 ()()()()()() 0 bca bcacab cababc abc bccaab ， 即 () ()()()0 bca a bcab cabc abc abc ， 即 222 () 20 bca ababc abc ，即 22 () () 0 bca cab abc ， 即 () ()()0 bca cab cab abc ， 所以 0bca 或 0cab 或 0cab ，即b ac 或c ab 或c ba . 因此，以 ,abc 为三边长可构成一个直角三角形. 证法2 结合式，由式可得 3223223221 4 abc bccaab ， 变形，得 222 1 10242() 4 abcabc 又由式得 2 ()1024abc ，即 222 10242()abcabbcca ， 代入式，得 1 1024210242() 4 abbccaabc ，即 16()4096abcabbcca . 3 (16)(16)(16)16()256() 16abcabcabbccaabc 3 4096256 32 160 ， 所以 16a 或 16b 或 16c . 结合式可得b ac 或c ab 或c ba . 因此，以 ,abc 为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B） 一 （本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二 （本题满分25分） 已知ABC中，ACB90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分 Su.15第 6 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EFAB. F Q E P H N M A C B 解 因为BN是ABC的平分线，所以 ABNCBN . 又因为CHAB，所以 CQNBQH90ABN90CBNCNB ， 因此CQ NC . 又F是QN的中点，所以CFQN，所以 CFB90CHB ，因此C、F、H、B四点共圆. 又 FBH =FBC ，所以FCFH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上. 因此EFCH.又ABCH，所以EFAB. 三 （本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C） 一 （本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二 （本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同. 三 （本题满分25分）已知 , ,a b c 为正数，满足如下两个条件： 32abc 1 4 bcacababc bccaab 是否存在以 ,abc 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角. 解法1 将两式相乘，得 ()()8 bcacababc abc bccaab ， Su.15第 7 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 即 222222 ()()() 8 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 440 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 0 bcacababc bccaab ， 即 ()()()()()() 0 bca bcacab cababc abc bccaab ， 即 () ()()()0 bca a bcab cabc abc abc ， 即 222 () 20 bca ababc abc ，即 22 () () 0 bca cab abc ， 即 () ()()0 bca cab cab abc ， 所以 0bca 或 0cab 或 0cab ，即b ac 或c ab 或c ba . 因此，以 ,abc 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90. 解法2 结合式，由式可得 3223223221 4 abc bccaab ， 变形，得 222 1 10242() 4 abcabc 又由式得 2 ()1024abc ，即 222 10242()abcabbcca ， 代入式，得 1 1024210242() 4 abbccaabc ，即 16()4096abcabbcca . 3 (16)(16)(16)16()256() 16abcabcabbccaabc 3 4096256 32 160 ， 所以 16a 或 16b 或 16c . 结合式可得b ac 或c ab 或c ba . Su.15第 8 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 因此，以 ,abc 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90. 第一试第一试 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分42分，每小题分，每小题7分）分） 1. 设 71a ，则 32 312612aaa （ A ） A.24. B. 25. C. 4 7 10 . D. 4 7 12 . 2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC （ C ） A.7 2. B. 10. C. 105 . D. 7 3. 3用 x 表示不大于x的最大整数，则方程 2 2 30xx 的解的个数为 （ C ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任 意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ） A. 3 14. B. 3 7. C. 1 2. D. 4 7. 5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线 AE，则sinCBE （ D ） Su.15第 9 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 D A B C E A. 6 3 . B. 2 3. C. 1 3. D. 10 10 . 6设n是大于1909的正整数，使得 1909 2009 n n 为完全平方数的n的个数是 （ B ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分28分，每小题分，每小题7分）分） 1已知t是实数，若 , a b是关于x 的一元二次方程 2 210xxt 的两个非负实根，则 22 (1)(1)ab 的最小值是_ 3 _. 2 设D是ABC的边AB上的一点，作DE/BC交AC于点E，作DF/AC交BC于点F，已知 ADE、DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为_2 mn_. 3如果实数 , a b满足条件 22 1ab ， 22 |1 2| 21ababa ，则a b_1 _. 4已知 , a b是正整数，且满足 1515 2() ab 是整数，则这样的有序数对( , ) a b 共有_7_对. 第二试第二试 （A） 一一 （本题满分（本题满分20分）分）已知二次函数 2 (0)yxbxcc 的图象与x轴的交点分别为A、B， 与 y 轴的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P. （1）证明：P与 y 轴的另一个交点为定点. （2）如果AB恰好为P的直径且 2 ABC S ，求b和c的值. Su.15第 10 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 解解 （1）易求得点C的坐标为(0, ) c ，设 1 A( ,0)x ， 2 B(,0)x ，则 12 xxb ， 12 x xc . 设P与 y 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以 OAOBOCOD，则 12 1 x xcOA OB OD OCcc . 因为 0c ，所以点C在 y 轴的负半轴上，从而点D在 y 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐 标为(0,1). （2）因为ABCD，如果AB恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点C的坐标为(0, 1) ， 即 1c . 又 222 121212 ()4()44ABxxxxx xbcb ，所以 2 11 4 12 22 ABC SAB OCb ，解得 2 3b . 二二 （本题满分（本题满分25分）分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高， 1 I 、 2 I 分别是ADC、BDC的 内心，AC3，BC4，求 1 I 2 I . 解解 作 1 I EAB于E， 2 I FAB于F. 在直角三角形ABC中，AC3，BC4， 22 AB =AC +BC5 . F E I1 I2 D B A C 又CDAB，由射影定理可得 2 AC9 AD = AB5 ，故 16 BD = AB AD 5 ， 22 12 CD =ACAD 5 . Su.15第 11 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 因为 1 I E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以 1 I E 13 (AD CD AC) 25 . 连接D 1 I 、D 2 I ，则D 1 I 、D 2 I 分别是ADC和BDC的平分线，所以 1 I DC 1 I DA 2 I DC 2 I DB45，故 1 I D 2 I 90，所以 1 I D 2 I D， 1 1 1 3 I E3 2 5 DI sinADIsin455 . 同理，可求得 2 4 I F 5 ， 2 4 2 DI 5 . 所以 1 I 2 I 22 12 DIDI2 . 三三 （本题满分（本题满分25分）分）已知 , ,a b c 为正数，满足如下两个条件： 32abc 1 4 bcacababc bccaab 证明：以 ,abc 为三边长可构成一个直角三角形. 证法证法1 1 将两式相乘，得 ()()8 bcacababc abc bccaab ， 即 222222 ()()() 8 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 440 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 0 bcacababc bccaab ， 即 ()()()()()() 0 bca bcacab cababc abc bccaab ， 即 () ()()()0 bca a bcab cabc abc abc ， Su.15第 12 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 即 222 () 20 bca ababc abc ，即 22 () () 0 bca cab abc ， 即 () ()()0 bca cab cab abc ， 所以 0bca 或 0cab 或 0cab ，即b ac 或c ab 或c ba . 因此，以 ,abc 为三边长可构成一个直角三角形. 证法证法2 2 结合式，由式可得 3223223221 4 abc bccaab ， 变形，得 222 1 10242() 4 abcabc 又由式得 2 ()1024abc ，即 222 10242()abcabbcca ， 代入式，得 1 1024210242() 4 abbccaabc ，即 16()4096abcabbcca . 3 (16)(16)(16)16()256() 16abcabcabbccaabc 3 4096256 32 160 ， 所以 16a 或 16b 或 16c . 结合式可得b ac 或c ab 或c ba . 因此，以 ,abc 为三边长可构成一个直角三角形. 第二试第二试 （B） 一一 （本题满分（本题满分20分）题目和解答与（分）题目和解答与（A）卷第一题相同）卷第一题相同. 二二 （本题满分（本题满分25分）分） 已知ABC中，ACB90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角 平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EFAB. Su.15第 13 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 F Q E P H N M A C B 解解 因为BN是ABC的平分线，所以 ABNCBN . 又因为CHAB，所以 CQNBQH90ABN90CBNCNB ， 因此CQ NC . 又F是QN的中点，所以CFQN，所以 CFB90CHB ，因此C、F、H、B四点共圆. 又 FBH =FBC ，所以FCFH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上. 因此EFCH.又ABCH，所以EFAB. 三三 （本题满分（本题满分25分）题目和解答与（分）题目和解答与（A）卷第三题相同）卷第三题相同. 第二试第二试 （C） 一一 （本题满分（本题满分20分）题目和解答与（分）题目和解答与（A）卷第一题相同）卷第一题相同. 二 （本题满分（本题满分25分）题目和解答与（分）题目和解答与（B）卷第二题相同）卷第二题相同. 三三 （本题满分（本题满分25分）分）已知 , ,a b c 为正数，满足如下两个条件： 32abc 1 4 bcacababc bccaab 是否存在以 ,abc 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角. 解法解法1 1 将两式相乘，得 ()()8 bcacababc abc bccaab ， 即 222222 ()()() 8 bcacababc bccaab ， Su.15第 14 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 即 222222 ()()() 440 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 0 bcacababc bccaab ， 即 ()()()()()() 0 bca bcacab cababc abc bccaab ， 即 () ()()()0 bca a bcab cabc abc abc ， 即 222 () 20 bca ababc abc ，即 22 () () 0 bca cab abc ， 即 () ()()0 bca cab cab abc ， 所以 0bca 或 0cab 或 0cab ，即b ac 或c ab 或c ba . 因此，以 ,abc 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90. 解法解法2 2 结合式，由式可得 3223223221 4 abc bccaab ， 变形，得 222 1 10242() 4 abcabc 又由式得 2 ()1024abc ，即 222 10242()abcabbcca ， 代入式，得 1 1024210242() 4 abbccaabc ，即 16()4096abcabbcca . 3 (16)(16)(16)16()256() 16abcabcabbccaabc 3 4096256 32 160 ， 所以 16a 或 16b 或 16c . 结合式可得b ac 或c ab 或c ba . 因此，以 ,abc 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90. Su.15第 15 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 1999 年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试 （4 月 4 日上午 8:30-9:30） 考生注意：本试两大题共 10 道小题，每题 7 分。全卷满分 70 分。 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 本题共有 6 个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一 个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得 7 分； 不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得 0 分。 1、计算的值是（ ）。 （A）1；（B）1；（C）2；（D）2。 2、ABC 的周长是 24，M 是 AB 的中点，MCMA5，则ABC 的面积是（ ）。 （A）12；（B）16；（C）24；（D）30。 3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内， 则有一组的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）。 Su.15第 16 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 4、若函数，则当自变量取 1、2、3、100 这 100 个自然数时，函数值的和是（ ）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。 5、如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB998，DC1001，AD1999，点 P 在线段 AD 上，则满足条件BPC90的点 P 的个数为（ ）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于 3 的整数。 6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数； （乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理 数，则是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 本题共有 4 道小题，要求直接把答案写在横线上。 1、已知且，则_。 2、如图，在ABC 中，B36，ACB128，CAB 的平分线交 BC 于 M，ABC 的 外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N，则ANM 的最小角等于_。 Su.15第 17 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 3、已知为整数，且满足，则 _。 4、在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且NMBMBC，则 tgABM_。 = = = 第二试 （4 月 4 日上午 10:00-11:30） 考生注意：本试三大题，第一题 20 分，第二、三题各 25 分，全卷满分 70 分。 一、（本题满分 20 分） 某班参加一次智力竞赛，共三题，每题或者得满分或者得 0 分。其中题满 分 20 分，题、题满分分别为 25 分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全 Su.15第 18 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 答对的有 1 人，答对其中两道题的有 15 人，答对题的人数与答对题的人数之和为 29，答对题的人数与答对题的人数之和为 25，答对题的人数与答对题的人数 之和为 20，问这个班的平均成绩是多少分？ 二、（本题满分 25 分） 如图，设ABC 是直角三角形，点 D 在斜边 BC 上，BD4DC。已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F，与 AN 相切于 AB 的中点 G。求证：ADBF。 三、（本题满分 25 分） 已知为整数，方程的两根都大于1 且小于 0，求和 的值。 = = = 第一试参考答案 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 本题共有 6 个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一 个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得 7 分； 不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得 0 分。 1、计算的值是（ D ）。 （A）1；（B）1；（C）2；（D）2。 Su.15第 19 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 解：原式。 2、ABC 的周长是 24，M 是 AB 的中点，MCMA5，则ABC 的面积是（ C ）。 （A）12；（B）16；（C）24；（D）30。 解：MAMBMC5，ACB90，已知周长是 24，则 ACBC14，AC2BC2102。2ACBC（ACBC）2（AC2BC2） 142102424。 3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内， 则有一组的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ B ）。 解：由方程组的解知两直线的交点为，而图 A 中交点横坐标是 负数，故图 A 不对；图 C 中交点横坐标是 21，故图 C 不对；图 D 中交点纵坐标是大于 ，小于的数，不等于，故图 D 不对；故选 B。 4、若函数，则当自变量取 1、2、3、100 这 100 个自然数时，函数值的和是（ B ）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。 Su.15第 20 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 解：当时， 。当自变量取 2、3、98 时，函数 值都为 0。而当取 1、99、100 时，故所求 的和为： 。 5、如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB998，DC1001，AD1999，点 P 在线段 AD 上，则满足条件BPC90的点 P 的个数为（ C ）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于 3 的整数。 解：AD 的中点 M 对 BC 张成 90角，又在 AD 上取点 N 使 AN998，则 ND1001。由ABN 和DCN 都为等腰三角形推知BNC90，注意到以 BC 为直径的圆与 AD 至多有两个交 点，可知所求点的个数为 2。 6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数； （乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理 数，则是无理数。其中正确命题的个数是（ A ）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 解：，只要令 ，则为有理数，故（甲）不对；又若令 Su.15第 21 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 ，则为有理数，故（乙）不对；又若令 ，则为有理数，故（丙）不对；故正确命题个数是 0，应选（A）。 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 本题共有 4 道小题，要求直接把答案写在横线上。 1、已知且，则 2 。 解：，即， ， ，。 2、如图，在ABC 中，B36，ACB128，CAB 的平分线交 BC 于 M，ABC 的 外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N，则ANM 的最小角等于 44 。 解：B36，ACB128，AM 为CAB 的平分线，CAMMAB ，AMC44。又 AN 为切线，NACB36， NAM44，N180444492，ANM 的最小角为 44。 Su.15第 22 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 3、已知为整数，且满足，则 3 。 解：左边，即，而为整数，且不 相等，只可能取值或。不妨设，则 ，或，（2）无整数解，由（1）得， 。 4、在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且NMBMBC，则 tgABM。 解：延长 MN 交 BC 的延长线于 T，设 MB 的中点为 O，连 TO，则BAMTOB， ，即。令 DN1，CTMD，则 AM ，BM，BT，代入（1）式得 Su.15第 23 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 ，注意到，解得 。 = = = 第二试参考答案 一、（本题满分 20 分） 某班参加一次智力竞赛，共三题，每题或者得满分或者得 0 分。其中题满 分 20 分，题、题满分分别为 25 分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全 答对的有 1 人，答对其中两道题的有 15 人，答对题的人数与答对题的人数之和为 29，答对题的人数与答对题的人数之和为 25，答对题的人数与答对题的人数 之和为 20，问这个班的平均成绩是多少分？ 解：设分别表示答对题、题、题的人数，则有， ，答对一题的人数为 37132154，全 班人数为 141520，平均成绩为。 答：班平均成绩为 42 分。 二、（本题满分 25 分） 如图，设ABC 是直角三角形，点 D 在斜边 BC 上，BD4DC。已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F，与 AN 相切于 AB 的中点 G。求证：ADBF。 Su.15第 24 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 证：作 DEAC 于 E，则 ACAE，AGED。由切割线定理有：AG2AFAC， ED2AFAE，5ED2AFAE，ABEDAFAE， BAFAED，ABFEAD，而EADDAB90，ABFDAB90， ADBF。 三、（本题满分 25 分） 已知为整数，方程的两根都大于1 且小于 0，求和 的值。 解：根据函数的图象和题设条件知：当时， ，；当时， 。抛物线顶点的横坐标满足， 。 ，即，由、得 ，若，则由、得且，得 ； Su.15第 25 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 若，则且，无整数解； 若，则且，无整数解； 若，则且，无整数解；故所求的值为 2000 年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试（4 月 2 日上午 8:30-9:30） 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1、计算的值是（ ）。 （A）1；（B）；（C）；（D）5。 2、若，则的值是（ ）。 （A）；（B）；（C）5；（D）6。 3、设是不相等的任意正数，又，则这两个数一定 （ ）。 （A）都不大于 2；（B）都不小于 2；（C）至少有 1 个大于 2；（D）至少有 1 个小于 2。 4、正整数小于 100，并满足等式，其中表示不超过的最 大整数，这样的正整数有（ ）。 Su.15第 26 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 （A）2 个；（B）3 个；（C）12 个；（D）16 个。 5、已知一个梯形的四条边的长分别为 1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ）。 （A）4；（B）6；（C）；（D）。 6、已知 ABCD 是一个半径为 R 的圆的内接四边形，AB12，CD6，分别延长 AB 和 DC， 它们相交于 P 且 BP8，APD60，则 R 等于（ ）。 （A）10；（B）；（C）；（D）14。 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1、是正数，并且抛物线和都与轴有公 共点，则的最小值是_。 2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2 千克 A 水果，4 千克 B 水果；乙种搭配：3 千克 A 水果，8 千克 B 水果，1 千克 C 水果；丙种搭配：2 千克 A 水果，6 千克 B 水果，l 千克 C 水果。A 水果价格每千克 2 元，B 水果价格每千克 1.2 元，C 水果价格每千克 10 元。某 天该店销售三种搭配共得 441.2 元，其中 A 水果的销售额为 116 元，则 C 水果的销售额为 _元。 3、实数满足和，则_。 4、设正三角形 ABC 的边长为 2，M 是 AB 边上的中点，P 是边 BC 上的任意一点，PAPM 的 最大值和最小值分别记为和，则_。 = = = 第二试（4 月 2 日上午 10:30-11:30） 一、（本题满分 20 分） 设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点 。 Su.15第 27 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 （1）求证：； （2）若间的距离不超过，求的最大值。 二、（本题满分 25 分） EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形，两条对角线 EG 和 FH 所夹的锐角为 ，且BEG 与CFH 都是锐角。已知 EG，FH，四边形 EFGH 的面积为。 （1）求证：； （2）试用表示正方形 ABCD 的面积。 三、（本题满分 25 分） 设关于的二次方程 的两根都是 整数，求满足条件的所有实数的值。 = = = 第一试试题答案 一、1、（C）；2、（A）；3、（C）；4、（D）；5、（D）；6、（B）。 二、1、20；2、150；3、4；4、。 Su.15第 28 页2019-1-13 更多内容尽在 /susuh15 更多内容尽在 /susuh15 第二试部分试题答案 三、。 1998 年全国数学联赛试卷 一、选择题：（每小题 6 分，共 30 分） 1、已知 a、b、c 都是实数，并且，那么下列式子中正确的是（ ）cba （）（）（）（）bcab cbbacbba c b c a 2、如果方程的两根之差是 1，那么 p 的值为（ ）001 2 ppxx （）2（）4（）（）35 3、在ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且 BDCE，BD=4，CE=6，那么ABC 的 面积等于（ ） （）12（）14（）16（）18 4、已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限0abcp b ac a cb c ba ppxy （）一、二（）二、三（）三、四（）一、四 5、如果不等式组的整数解仅为 1，2，3，那么适合这个不等式组的整数 a、b 的有序数对 08 09 bx ax （a、b）共有（ ） （）17 个（）64 个（）72 个（）81 个 二、填空题：（每小题 6 分，共 30 分） 6、在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上任意一点， PEBD，PFAC，E、F 分别是垂足，那么 PE+PF=_。 7、已知直线与抛物线相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB 的面积等于32 xy 2 xy _。 8、已知圆环内直径为 acm，外直径为 bcm，将 50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那 么这条锁链拉直后的长度为_cm。 9、已知方程（其中 a 是非负整数） ，至少有一个整数根，那么01513283 2222 aaxaaxa a=_。 10、B 船在 A 船的西偏北 450处，两船相距km，若 A 船向