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数学分析习题解答 17 多元函数微分学17.1 多元函数微分学1求下列函数的偏导数：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2.设；求解法1：则解法2：3设，考察函数f在原点（0，0）的偏导数。解： 因为 不存在. 所以，在原点关于的偏导数为0，关于y的偏导数不存在。4证明函数 在点（0，0）连续但偏导数不存在 . 证明： 记则而所以即在点连续.然而，不存在，即不存在，同理不存在.5考察函数 在点（0，0）处的可微性解： 同理而。所以，。即函数在点处可微。6证明函数在点（0，0）连续且偏导数存在，但在此点不可微。证明：记，则等价于（1） 即在点处连续。（2），。即函数在点处偏导数存在。（3）设则当则不存在，所以函数在点处不可微.7证明函数 在点（0，0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0，0）不连续，而 在原点（0，0）可微.证明：由于所以在点连续。且同理所以在点偏倒数存在。但当时，而不存在。因此，不存在，从而在点不连续。同理可证在点不连续。然而所以在点可微8.求下列函数在给定点的全微分：（1）在点（0，0），（1，1）；（2）在点（1，0）和（0，1）。解：（1）因为在点连续，所以函数在可微。可得（2）因为在点（1，0）、（0，1）连续，所以函数在（1，0）、（0，1）可微，由可得9求下列函数的全微分：（1） ；（2） .解：显然函数和的偏导数连续，于是和可微，且（1）因所以（2）因所以10求曲面在点（1，1，）处的切平面方程和法线方程。解：因在处可微，从而切平面存在。且切平面方程：即法线方程：即11求曲面在点（3，1，1）处的切平面方程和法线方程。解：分别对求导得得在点（3，1，1）处有，所以根据切平面方程定义得切平面方程为：，即9x+y-z-27=0.法线方程为：即x-3=9(y-1)=9(1-z).12在曲面z=xy上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+z+9=0；并写出这前平面方程和法线方程。解：设所求点为，点处切平面法向量为：要使切平面与平面x+3y+z+9=0平行，则有于是求得则点为（-3，-1，3），且点处的切平面方程为：即x+3y+z+3=0.法线方程为：即13计算近似值：（1） ；（2） .解：（1）选函数于是故（2）选取函数则所以14设圆台上下底的半径分别为R=30cm,r=20cm,高h=40cm.若T,r,h分别增加3mm,4mm,2mm,求此圆台体积变化的近似值。解：圆台体积，于是，其中将及代入上式得17.2 复合函数微分法1求下列复合函数的偏导数或导数：（1）设 ，求解：令，由复合变量的求导法则有=（2）设，求解：（3）设 ，求 解：（4）设解：（5）设 ，求解：用分别表示函数对第一个中间变量与第二个中间变量的偏导数。 （6）设解：2设，其中f为可微函数，验证解：设3设其中f为可微函数，证明证：设则4设f(x,y)可微，证明：在坐标旋转变换，之下，+是一个形式不变量。即若，则必有+=（其中旋转角是常数）证： 5.设 是可微函数， 试求 .解：17.3 方向导数与梯度1求函数在点 处沿 方向（其方向角分别为60 ，45 ，60 ）的方向导数.解：函数在点(1,1,2)处可微.且于是沿方向的方向导数为.2. 求函数在点 到点 的方向上的方向导数.解：函数在点A(5,1,2)处可微，且而的方向余弦为.故在点A处沿的方向导数为3. 求函数在点及点处的梯度以及它们的模。解：因为所以4. 设函数，其中，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式。解：因此由，得，故使的点是满足方程的点，即在空间以为球心，以1为半径的球面上都有。5设函数 ，求它在点 的梯度.解：因为 所以。6. 证明：（1）（2）（3）（4）证：设（1）（2）（3）（4）7设 ，试求：（1） （2）grad .解：（1）由得（2）设，则17.4 泰勒公式与极值问题1求下列函数的高阶偏导数：（1） ，所有二阶偏导数；(2) ,所有二阶偏导数;（3） ， ， (4) （5）所有二阶偏导数.(6),所有二阶偏导数;(7) 解：（1）（2） （3）于是（4）由归纳法知因此，（5）（6）令。则（7）2设 ， ，证明： .解： 于是3设 ，证明证：因为所以 4设.证明:.证：同理，于是5证明定理17.8的推论 .证：设是D上任意两点，由于D是区域，可用一条完全在D内的折线 连结（图17-1），在直线段上每一点存在邻域 由中值定理（定理17.8）得于是即在内是常数。由有限覆盖定理，存在有限个这样的邻域将覆盖，不妨设既然在每个邻域上函数为常数，且在两邻域相交部分函数值相等，故在上为常数，特别同理可证故由的任意性知，在D内常数。6.通过对施用中值定理,证明对某,有.证：在上满足中值定理条件，于是令则即7. 求下列函数在指定点处的泰勒公式:（1） = 在点（0，0）（到二阶为止）；解：函数在上存在任意阶连续偏导数，且(2)在点(1,1)(到三阶为止);解：函数在点(1,1)的邻域内存在任意阶连续偏导数，且（3） = 在点（0，0）；解：因为（4） = 在点（1，-2）.解; 8.求下列函数的极值点：(1) 解：解方程组得稳定点由于（2）解：同课本P138例6。（3） .解：解方程组得稳定点，由于为极小值点。 9.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值：（1） ；解：先求开区域内的可疑极值点。由得稳定点再求边界上的可疑极值点。由得由这时这时所以边界上的稳定点为又所以函数在取得最大值4，在点取得最小值-4。（2） ;解：解方程组得稳定点，考察边界（边界上的最大（小）值在可疑极值点和端点之中），有，这时这时，这时所以函数在点取得最大值1，在点取得最小值0。(3) 解：解方程组得因此稳定点在上。在区域内部，将代入得于是区域内部仅为稳定点，在边界上，函数值均为零，所以函数在点取得最大值，在边界上取得最小值零。10. 在已知周长为 的一切三角形中，求出面积最大的三角形.解：设三角形的三边分别是x,y,z.则面积,所述问题就是求函数上的最大值。因 D是开区域，把D的边界添加进去得到有界闭区域于是在上一定取到最大值，又在D的边界上的值为0，而在D的内部的值皆大于0，从而在D内一定取到最大值。因与在D内有相同的可疑极值点，所以考虑函数。解方程组得处取得极大值。故面积最大的三角形为边长为的等边三角形，面积。11. 在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0及x+2y-16=0的距离平方和最小.解： 设所求点位（x,y）,则它到x=0的距离为,到的距离为，到的距离为，于是到三直线的距离的平方和为由因此是的极小值点。又这就是说，存在一个圆使得当时，有。因在有界闭域上连续，所以在内取到最小值，由是唯一的极值点知，点是在全平面上的最小值。12. 已知平面上n个点的坐标分别是试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小.解 设所求的点为，它与个点距离的平方和为由因由11题知为所求点。17总 练 习 题1. 设 , 证明 . 证: 由 , 得 .2. 求函数在原点的偏导数与, 并考察在的可微性. 解: , .若 在点可微，则 且 而 .因此,当时, .从而 ,矛盾!所以 在不可微.3. 设 , 证明: (1) ; (2) 证:(1) 设的元素为 ,则为 的代数余子式.于是 .从而 因为对一切的 都成立,所以 . (2) 利用课本 页关于齐次函数的欧拉定理有.易见 是 次齐次函数.所以 . 4. 设函数具有连续的阶偏导数,试证函数的阶导数.证: 应用数学归纳法证明 当时,有. 令 . 则.对 应用时的结论知: 所以对一切的,有 .5. 设 ,求 .解: 由行列式求导法则知 .6. 设 ,求 . 解: 7. 设函数 在上有,试求关于的函数式.解: 若在上连续,则.对上任意两点,由中值定理知:.所以 由,对的任意性知 与无关.即