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第四节 区 域 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 三、典型例题 四、小结与思考 2 一、区域的概念 1. 邻域: 说明 3 2.去心邻域: 说明 4 3.内点: 4.开集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称 为开集. 5 5.区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它 为一个区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用 完全属于D的一条折线连结起来. 6.边界点、边界: 设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不 属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D中的 点,这样的 P 点我们称为D的边界点. 6 D的所有边界点组成D的边界. 说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的. (2) 区域D与它的边界一起构成闭区域 7 以上基 本概念 的图示 区域 邻域 边界点 边界 7.有界区域和无界区域: 8 (1) 圆环域: 课堂练习 判断下列区域是否有界? (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: 答案(1)有界; (2) (3) (4)无界. 9 二、单连通域与多连通域 1. 连续曲线: 平面曲线的复数表示: 10 2. 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线. 11 3. 简单曲线: 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔 当曲线). 12 换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单 闭曲线 C 将复平面 唯一地分成三个互 不相交的点集. 内部 外部 边界 13 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简 单 闭 简 单 不 闭 不 简 单 闭 不 简 单 不 闭 14 4. 单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一 条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为 单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为 多连通域. 单连通域多连通域 15 三、典型例题 例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还 是无界的,单连通的还是多连通的. 解 无界的单连通域(如图). 16 是角形域, 无界的单连通域(如图). 无界的多连通域. 17 表示到1, 1的距离之 和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, 有界的单连通域. 18 有界的单连通域. 19 例2 解 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域? 是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 单连通域. 20 是多连通域. 不是区域. 21 22 单连通域. 23 四、小结与思考 应理解区域的有关概念: 邻域、
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