材料力学(上)复习.ppt

1 2. 物理方程(胡克定律) 3. 静力学关系 平面弯曲中横截面上弯曲正应力的公式 1. 几何变形 : 平面纯弯曲梁上的横截面只存在正应力, 以中性轴为界分为拉力 区和压力区.中性轴过截面的形心. 2 横截面对z 轴的惯性矩 横截面对y 轴的惯性矩 抗弯截面系数 常用截面的轴惯矩: 矩形截面 3 R r 平移轴定理: 截面对某一轴的惯性矩, 等于该截面对平行此轴且过质心的 轴的惯性矩加上该截面面积乘以两轴距离的平方. 4 例1. 长为l的矩形截面悬臂梁, 在自由端作用一集中力F,已知矩形截面上 b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN， 试求B截面上 a、b、c 各点 的正应力. （压） 解: B截面的弯矩为 a 点 : c 点 : b 点 : 5 例4. 图示外伸梁，受均布载荷作用， 材料的许用应力 =160MPa，校 核该梁的强度。 解: 先求出危险截面的弯矩值 Fs (kN)图 M(kN.m)图 由弯矩图可见 该梁满足强度条件，安全. 6 例5. 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度L2m。 T形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 梁的中部有最大的弯矩值 7 200 200 30 30 z 42.5 例7. 习 5.16 ( 169 )铸铁梁的载荷和横截面尺寸如图示, 许应拉应力t = 40MPa. 许应压 应力c = 160MPa .试按正应力强度条件校核梁的强度. 若载荷不变, 但将T形横截面倒 置, 即翼缘在下成为形,是否合理?何故? 首先, 确定梁内弯矩的极值. （） （） 20kNm 10kNm 中性轴过形心, 故须确定形心的位置. C 2m3m1m 20kN 10kN/m A BC D 30kN 10kN 8 在B点处 在C点处 故结构是安全的. 如果T形梁倒置, 则在B 处有 结构不安全. （） （） 20kNm 10kNm 200 200 30 30 z 42.5 C (可略去) 9 习 5.29 截面为正方形的梁按图示两种方式放置, 试问那一种方式比较合理? 看一看哪一个对 z 轴的惯性矩大? a 对于上图形 或 对于下图形 10 a 关于抗弯截面系数 上图中 下图中 显然, 下图的放置更合理. 11 习5.31 为改善载荷分布, 在主梁AB上安置辅助梁CD. 设主梁和辅助梁的抗弯 截面系数分别为W1和W2 ,材料相同,试求辅助梁的合理长度. 解: 对辅助梁, 最大弯矩应满足: 对主梁,最大弯矩应满足: 将上两式相除 材料相同, 故 相同. 即是 (对于同一种材料, 只要二梁的最大弯矩值一样即可.) 12 习 5.33 我国的营造法中, 对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b = 3:2 .试用弯 曲正应力强度证明: 从圆木锯出的矩形截面梁, 上述尺寸比例接近最佳比值. 解:由强度的概念及弯曲正应力公式 求抗弯截面系数的极值 d 是圆截面直径. 所以, Wz 是b的函数令 是极大值 13 习 5. 35 均布载荷下的简支梁由圆管及实心圆杆套合而成, 变形后两杆仍密切接 触. 两杆材料的弹性模量分别是E1和E2 , 且E1 = 2E2 . 试求两杆各自承担的最大 弯矩值. 解: 设 圆管承受弯矩为M1 ,圆 杆承受弯矩为M2 . 由静力学关系: 变形后, 同一截面处的曲率相等. 联立求解可得: 14 由题意及已知条件 代入上二式可得: 15 习 5.36 以力F将置于地面上的钢筋提起, 如图示. 若钢筋单位长度为q , 当b = 2a 时, 试求所需的力F的大小. 解:在提起处, 其转角开始变化 由力矩平衡方程: 16 a y z a O 弯曲剪应力公式: 此公式适合于对称截面上与剪力同向的剪应力的计算 A 如图上aa截面上的剪应力 剪应力的最大值在截面的中性轴处. 弯曲剪应力的分析方法 : ( 1 ) 剪切互等定理. ( 2 ) 微元体上水平方向的剪应力的合力与弯矩增量 引起的正应力的合力平衡. 1. 矩矩形截面梁切应力的分布规律: 当y = 0 , 有剪应力极大值. 17 2. 工字形截面梁 工字形梁的截面是承受弯曲应力 较合理的截面. 工字梁的翼板的全部面积都在离中 性轴最远的地方, 故上每一点的正 应力比较大, 所以承担了截面的大 部分弯矩. 而腹板承担了截面的大 部分的剪力. 3. 圆形截面梁 4. 薄圆环截面梁 腹板 18 例8. (习5.18) 试计算在均布载荷下,圆截面简支梁内的最大正应力和最大的 切应力, 并指出它们发生于何处? 解:支反力 最大剪应力发生在A、B支 座附近梁截面中性轴处. 最大正应力发生在梁中部截 面上下两端(上压下拉). 19 胶合面 例10. 由木板胶合而成的梁的截面如图示. 试求胶合面上沿x 轴方向 ( 梁长的方向) 的剪应力. 已知板厚为 s . z 取上胶合板的dx 长为研究对象 z y dx O s 若按剪应力随高度变化的假定, 此应力为平均剪应力. q: 沿x轴单位长度的剪力. 20 一般而言, 细长梁上横截面的弯曲正应力是控制材料强度的主要因素, 该梁若满足弯 曲正应力的强度条件, 一定可满足弯曲剪应力的强度条件. 但是在下面的一些情况下, 要进行弯曲剪应力的强度校核: 1. 梁的跨度较短.( l/h5) 或在支座附近作用有较大的载荷. 2. 铆接或焊接的工字梁, 腹板较薄而截面高度较大. 3. 其它梁内铆接、焊接及胶合的地方. 21 习5.27 图示梁有两根36a工字梁铆接而成.铆钉的间距s = 150mm. 直径d = 20mm, 许 用切应力 = 90MPa. 梁上横截面上的剪力Fs = 40kN.试校核铆钉的剪切强度. 解: 查表(p408) 其余尺寸见图上 组合梁对中性轴的惯性矩 组合梁中性轴处剪应力计算所用的面积静矩 组合梁中性层上剪应力 22 每个铆钉应承受的剪力 组合梁中性层上剪应力 每个铆钉横截面上的剪应力 故组合梁的铆接处是安全的. 23 x y 转角 挠度 转角 挠曲线 梁的弯曲变形 挠曲线: 弯曲变形后的梁的轴线 几个基本概念: 挠度:梁的横截面形心(梁轴上的点)在垂直梁轴方向的位移 转角:弯曲变形后横截面与变形前该面间的夹角 在给定的坐标轴下, 梁上各点的挠度和转角都是x的函数 挠曲线方程转角方程 24 挠曲线近似微分方程 而 对于弯曲小变形 转角和挠度都是很小的量 x y w = w(x) 又 所以, 考查略去高阶小量 注意 或可有: 25 用积分法求弯曲变形 第一次积分 第二次积分 如果EI = 常数 26 用叠加法求弯曲变形 在小变形的前提下, 挠曲线方程是线性微分方程. 线性微分方程服从叠加原理, 在这里的一个重要应用是:复杂载荷下方程的解是对应的有限简单载荷下解 的叠加. 就是说, 当梁上有若干载荷同时作用时,可分别求出每一个载荷下单独 引起的变形, 把所得的变形叠加即得最终的结果. 一. 载荷叠加法 二. 逐段刚化求和法 在小变形的前提下, 首先分别计算梁上分解的各段的变形在需求位移处引起 的位移, 然后叠加, 即得最后的结果.在逐段分析中, 除视所研究的梁段发生 变形外, 其余各段均视为刚体. 27 三. 用叠加