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第六章 中心力场 内容提要 1、中心力场的一般性质 角动量守恒与径向方程 径向波函数的渐近行为 两体问题向单体的转化 2、球方势阱 无限深球方势阱 有限深球方势阱 3、氢原子 能量本征方程、本征值和 本征波函数 能级简并度 径向位置几率分布 几率分布与角度的关系 电流分布与磁矩 4、类氢原子 5、三维各向同性谐振子 球坐标下的本征方程及 解和性质 直角坐标系下本征方程 及解 自然界中中心力场是个广泛的问题；中心力场中 运动的粒子保持角动量守恒，无论是经典力学还 是量子力学都是如此。现看经典力学情形: 6.1 中心力场的一般性质 1、角动量守恒与径向方程 离心“势能” 体系波函数： 代入体系本征方程，分离变量后得 径向波函数R(r)方程： 或 令 Rl(r) = (r)/r，代入径向波函数方程，化简后得 讨论： 所有中心力场中粒子的定态波函数仅差别在于径 向波函数 Rl(r) 或 (r)，二者由 V(r) 的性质决定， 与角度有关波函数就是球谐函数 Ylm ； 径向方程中不出现磁量子数 m，能量本征值 E与 m无关，有简并。m 的取值有 2l+1个，所以中心力 场中粒子的能级简并度一般为 2l+1 个； l = 0 时，离心势能消失，上式与一维粒子的能量 本征方程在形式上相似，但 V(r) 中的 r 0. 给定边界条件就可求解径向方程，得出能量本征 值。非束缚态，E 连续变化；束缚定态，E 取分立 的能量本征值。由于束缚态边界条件，将出现新的 径向量子数 nr，nr = 0，1，2，代表径向波函 数的节点数（节点不包括0和 +）。由于哈密顿量 中有径向动能项和离心势能项，可见， E 既依赖 与 nr 又依赖与 l，记为 按照光谱学的习惯，将 l = 0，1，2，3，4，5，6，分别标记为 s，p，d，f， g，h，i， 2、径向波函数的渐近行为 因此，在求解径向方程时， 3、两体问题向单体的转化 实际的中心力场问题常常是两体问题。 (1) 基本考虑 I、 一个具有折合(约化)质量的粒子在场中的运动; II、 二粒子作为一个整体的质心运动。 (2) 数学处理 质心坐标 相对坐标 m1 + r1 r2 r R m2 o y z x 分量表达式：令 R(X, Y, Z), r = (x, y, z) 又因为 转到质心和相对坐标系中 其中 = m1m2 / (m1+m2)，约化质量； Mm1+m2，二体的总质量。 最终相对坐标和质心坐标下的薛定谔方程为： 由于没有交叉项，波函数可采用分离变量表示为： 将该式带入上式，两边同时除以 (r) (R)，即可 得到关于质心运动波函数和相对运动波函数所满足 的定态薛定谔方程。 其中，EETEC，EC 表示质心运动能量。 只与 R 有关只与 r 有关 相对运动 能量 讨论： 对氢原子，感兴趣的是描述其内部状态的第一 个方程，它描述一个约化质量为 的粒子在势能 为 V(r) 的力场中的运动。这是一个电子相对于核 运动的波函数 (r) 所满足的方程，相对运动能量 E 就是电子的能级。 第二式是质心运动方程，描述能量为 EC(ET- E) 的自由粒子的定态薛定谔方程，说明质心以能 量 (ET-E) 作自由运动。 1、 无限深球方势阱 只有束缚态 (1) s 态 (l = 0) 径向方程 6.2 球方势阱 a 边界条件：0(0) = 0， 0(a) = 0 势阱内方程 满足边界条件的解为 (2) 非 s 态 (l 0) 径向方程 边界条件：Rl(a) = 0。 作无量纲变换，令 = kr，其中 (E 0)。 上式变为 球贝塞尔 (Bessel) 方程 通解有两个： 但根据边界条件 r 0, 0，Rl() 0。所以， 在球方势阱中的解只能为球贝塞尔函数 再由边界条件 Rl(a) = 0 来确定能量本征值，即 由于 a 取有限值，k 只能一系列的取分立值。 记 jl(x)=0 的根为 则 本征函数及其正交归一性 2、 有限深球方势阱 既有束缚态(E 0) 。 径向方程 现只考虑束缚态， 即 E a)解: 其中，hl(x)为虚宗量汉克(Hankel)函数 再根据波函数及其一阶导数在 r = a 处连续的条件