概率论与数理统计第一章随机事件及其概率练习题.doc

第一章 随机事件及其概率 （概率论与数理统计）练习题1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合：(1) 10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品；(2) 一个口袋中有2个白球,3个黑球,4个红球，从中任取一球：得白球；得红球2化简事件算式：3就下列情况分别说明事件，之间的关系：(1) ；(2) .4试判断事件“，至少发生一个”与“，最多发生一个”是否是对立事件5下列各式说明与之间具有何种包含关系?(1) =， (2) 6掷一枚骰子的试验，观察其出现的点数，事件=“偶数点”，=“奇数点”，“点数小于5”，=“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系7将下列事件用，的运算表示出来：(1) 发生；(2) 只有发生；(3) 三个事件中恰好有一个发生；8设某工人连续生产了4个零件，用表示他生产的第个零件是正品(=1，2，3，4)试用事件的运算表示下列各事件：(1) 没有一个是次品；(2) 至少有一个是次品；(3) 只有一个是次品；(4) 至少有三个不是次品；(5) 恰好有三个是次品；(6) 至多有一个是次品9事件表示某个生产单位第车间完成生产任务(=1，2，3),表示至少有两个车间完成生产任务，表示最多只有两个车间完成生产任务说明事件的含义，并且用(=1，2，3)表示出来10设，为事件，问下列各事件表示什么意思?(1)； (2)； (3)11如图，事件，都相容，即，把事件+，+，+，-用一些互不相容事件的和表示出来 12两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明13将1套4册的文集按任意顺序放到书架上去，问各册自右向左或自左向右恰成1，2，3，4的顺序的概率是多少?14 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率1510把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率16抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率17有一元币、五角币、一角币、五分币、二分币、一分币各一枚，试求由它们所组成的所有可能的不同币值中，其币值不足一元的概率18一楼房共14层，假设电梯在一楼起动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的试求下列事件的概率：=10人在同一层下； =10人在不同楼层下；=10人都在第14层下； =10人中恰有4人在第8层下19将等7个字母随意排成一行，求恰好排成的概率20一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1) 四张花色各异； (2) 四张中只有两种花色21袋中有红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：=“全红”，=“全白”，=“全黑”，=“无红”，=“无白”，=“无黑”，=“颜色全相同”，=“颜色全不相同”，=“颜色不全相同”22一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4人的生日在同一个月份的概率23一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算)24从4双不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：(1) 4只恰成2双；(2) 4只中恰有一双；(3) 4只中没有成双的25掷三颗骰子，得3个点数能排成公差为1的等差数列的概率为多少?26将4个男生与4个女生任意地分成两组，每组4人，求每组各有2个男生的概率27设为线段的中点，在上任取一点，求AC、CB、AO三条线段能构成一个三角形的概率28在中任取一点，证明：与的面积之比大于的概率为29设，用，表示下列事件的概率：(1) ， (2) ， (3) ， (4) 30设31设，(1) 若与互斥，求；(2) 若与独立，求32已知，求，全不发生的概率33事件与互不相容，计算34设事件，求证： 35设事件的概率都大于0，比较概率，的大小(用不等号把它们连结起来)36已知，求：， ， 37设为两个随机事件，证明：(1)；(2)38一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率39在1000名技术员中调查性别、婚姻状况及学历，得如下数据：(1) 813个男性；(2) 875个已婚；(3) 752个大专毕业生；(4) 632个男大专毕业生；(5) 572个已婚男性；(6) 654个已婚大专毕业生；(7) 420个已婚男大专毕业生试说明这些数据中有错误40在某城市中发行3种报纸，经调查，在居民中按户订阅报的占，订阅报的占，订阅报的占，同时订阅报和报的占，同时订阅报和报的占，同时订阅报和报的占，同时订阅这3种报纸的占，试求下列事件的概率：(1) 只订报的；(2) 只订报和报两种的；(3) 只订1种报纸的；(4) 恰好订2种报纸的；(5) 至少订阅2种报纸的；(6) 至少订1种报纸的；(7) 不订报纸的；(8) 至多订阅1种报纸的41某单位有的职工订阅报纸，的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工，求下列事件的概率：(1) 该职工至少订阅一种报纸或杂志；(2) 该职工不订阅杂志，但订阅报纸42某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为，乙市全年雨天的比例为，甲乙两市至少有一市为雨天的比例为16.8%试求下列事件的概率：(1) 甲、乙两市同为雨天；(2) 在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；(3) 在乙市无雨的条件下甲市亦无雨43分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，事件表示数学成绩优秀，表示外语成绩优秀，若，求：， ， 44设与独立， =0.4， =0.7，求概率45设甲、乙两人各投篮1次，其中甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.7，并假定二者相互独立，求：(1) 2人都投中的概率；(2) 甲中乙不中的概率；(3) 甲投不中乙投中的概率；(4) 至少有一个投中的概率46甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1) 只有一人投中；(2) 最多有一人投中；(3) 最少有一人投中47甲乙两人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?48加工一产品需要4道工序，其中第1、第2、第3、第4道工序出废品的概率分别为0.1，0.2，0.2，0.3，各道工序相互独立，若某一道工序出废品即认为该产品为废品，求产品的废品率49加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出废品与其他各道工序无关，求零件的合格率50求下列系统(如图所示)的可靠度假设元件的可靠度为，各元件正常工作或失效相互独立11122233322312(1) (2)1123(3) 51某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第次才能打通的概率(为任何正整数)52设事件相互独立，且 ，试求：(1) 这些事件至少有一件不发生的概率；(2) 这些事件均不发生的概率；(3) 这些事件恰好发生一件的概率53设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6求同时发射一枚炮弹而击中飞机的概率是多少? 又若有一架敌机入侵领空，欲以以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮?54甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一密码，设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为0.7，丙译出的概率为0.6，求该密码能被译出的概率55上题中如改为个人组成的小组，在同一时间内分别破译某密码并假定每人能译出的概率均为0.7，若要以的把握能够译出，问至少需要几个人?56对于三事件、，若成立，则称与关于条件独立若已知与关于条件、均独立，且0.9，0.9，试求，并证明与不独立57一个人的血型为,型的概率分别为0.46，0.40，0.11，0.03，现在任意挑选5人，求下列事件的概率：(1) 2个人的血型为型，其他3人的血型分别为其他3种血型；(2) 3个人的血型为型，2个人为型； (3) 没有一个人的血型为型58设，证明：与独立的充要条件是59设，相互独立证明：与独立，与-也独立60某厂有甲、乙、丙三条流水线生产同一种产品，每条流水线的产量分别占该厂生产产品总量的，各条流水线的废品率分别是，求在总产品中任取一个产品是废品的概率61假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的，如果各车间的次品率依次为，现在从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是由甲车间生产的概率62某种同样规格的产品共10箱，其中甲厂生产的共7箱，乙厂生产的共3箱，甲厂产品的次品率为，乙厂产品的次品率为，现从这10箱产品中任取1件产品，问：(1) 取出的这件产品是次品的概率；(2) 若取出的是次品，分别求出次品是甲、乙两厂生产的概率63设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则不买求：(1) 顾客买下此箱玻璃杯的概率；(2) 在顾客买下的此箱玻璃杯中，确实没有次品的概率64一道选择题有4个答案，其中仅1个正确假设一个学生知道正确答案及不知道而乱猜的概率都是1/2(乱猜就是任选一个答案)如果已知学生答对了，问他确实知道正确答案的概率是多少?65某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定的时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少?66地为甲种疾病多发区，该地区共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9:7:4，据统计资料，甲种疾病在该地三个行政小区内的发病率依次为4，2，5，求地的甲种疾病的发病率67盒子里有12个乒乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒子，第二次比赛时再从盒子中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率；若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取出的球都是新球的概率68已知100件产品中有10件绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时发生故障的可能性均为0.1现从这100件产品中随机抽取一件，若使用了次均未发生故障，问为多大时，才能有的把握认为所抽取的产品为正品69在4次独立重复试验中事件至少出现1次的概率为0.59，试问在1次试验中出现的概率是多少?70按某种要求检查规则，随机抽取4个梨，如果4个梨全是熟的，则所有梨都将在餐厅做饭后食用一批梨仅有是熟的，问能做餐用的概率是多少?答案1(1) 记9件合格品分别为：正，正，正，不合格品为次，则(正，正)，(正，正)，(正，正)，(正，次)，(正，正)，(正，正)，(正，次)，(正，正)，(正，次)，(正，次)，(正，次)，(正，次)，(正，次)，(正，次)(2) 记2个白球分别为，3个黑球分别为，4个红球分别为则 ， ； 23+=表明+但，可以互斥、相容或包含；=表明但,的交必须是非不可能事件4不是对立事件5(1) 因为“=”与“”是等价的，由可以推出且，因此有(2) 因为“”与“”是等价的，由可以推出且，因此有6与为对立事件，与互不相容，7(1) ；(2) ；(3) .8(1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 9表示至少有两个车间没完成任务； -=表示三个车间均完成生产任务10(1) 表示、不都发生；(2) 表示发生而不发生；(3) 表示、都不发生11；+=； 12对立一定互不相容()；互不相容不一定对立()例如，：掷骰子事件出现点数为1，2，事件出现点数为3，4，出现点数为3，4，5，6，则与互不相容，与对立13 1415 16170.492118； ； 19七个字母的全排列总共有7!=5040种不同排法，将七个字母编号1 2 3 4 5 6 7在全部的5040种可能排列中，恰好排成的有如下四种情形(7154623)，(7153624)，(7254613)，(7253614)，于是0.00079420(1) ；(2) 21， ， ， 220.00732324从4双即8只鞋中任取4只，故基本事件数为，(1) “4只恰成2双”相当于“从4双里选2双”，故有利事件数为，其概率为=(2)为使4只中恰有1双，可设想为先从4双中取出1双，再从余下的3双中取出2双，然后从这2双中各取1只因此，有利事件数为，其概率为(3)“4只中没有成双的”相当于“从4双中各取1只”因此，有利事件数为，其概率为25每颗骰子有6个点，因此基本事件总共有个，只要掷出的三个点由1，2，3或2，3，4或3，4，5或4，5，6组成，不论它们出现的次序怎么样，都是有利事件因此欲求之概率为2627不妨设AB=1， AC=，则CB=1-， AO=， AC，CB， AO能构成一个三角形必须且只需同时满足，即将AB等分成四小段，第二及第三小段组成有利事件，因此欲求之概率为28(如图)截取，当且仅当点落入之内时，与的面积之比大于，故所求概率为29(1) 1-； (2) -； (3) 1-+； (4) 1-+300.3 310.3；0.532331 34略3536+0.7； -0.3； 1-0.337(1) 1-1-(2) 由(1)和得第一个不等式，而380.37539设从1000名技术员中任意地抽取一人以记事件：“抽取男性”，记事件：“抽取已婚者”，记事件：“抽取大专毕业生”按所给数据应有于是0.813+0.875+0.752-0.572-0.654-0.632+0.4201.0021得出矛盾，因此所给数据有错误40(1) 0.23； (2) 0.07； (3) 0.73； (4) 0.14； (5) 0.17； (6) 0.90； (7) 0.10； (8) 0.8341(1) 0.988； (2)0.058 42(1)0.042； (2) 0.35； (3)0.9143 430.7； 0.7； 4445(1) 0.56； (2) 0.24； (3) 0.14； (4) 0.9446(1) 0.188； (2) 0.212； (3) 47甲先投中的概率大 480.6 490.44850(1) 这个系统由三个相同的子系统并联而成，每个子系统又由三个元件串联而成因此每个子系统的可靠度为，整个系统的可靠度为(2) 这个系统由三个子系统串联而成，第一、第三个子系统只由一个元件组成，第二个子系统由三个相同的元件并联而成因此，三个子系统的可靠度分别为，整个系统的可靠度为(3) 这个系统由两个子系统并联而成，第一个子系统由两个二级子系统串联而成，而第一个二级子系统又由两个元件并联而成因此，第一个子系统的可靠度为，整个系统的可靠度为1-=1-=510.42； 0.580.42； 0.580.4252(1) 1-(2) =(3) =53用表示“第门高射炮发射一枚炮弹击中飞机”，表示“击中飞机”则，(1) ，(2) ，即，故