届理科数学三大题限时训练(1-11)答案.doc

2013届理科数学三/四大题限时训练（1）解：()交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.（3分）()从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：人，四川籍的有：人，（4分）设四川籍的驾驶人员应抽取名，依题意得，解得即四川籍的应抽取2名. （7分）() 的所有可能取值为0，1，2；（8分），（10分）的分布列为：012 （11分）均值.（13分）2解：（）由，即得 （2分） ，（4分）（）由（）得，（5分） （6分）（7分） （9分）（）， （10分） 设向量与所成的角为，则（11分） （13分） 3解：（方法一）() 是斜三棱柱, 平面，故侧棱B1B在平面上的正投影的长度等于侧棱的长度(2分)又,故侧棱在平面的正投影的长度等于. (3分)()证明： ，三角形是等腰直角三角形，（5分）又D是斜边AC的中点，（6分）平面平面，A1D底面（7分）()作DEAB，垂足为E，连A1E，A1D面ABC，得A1DAB平面，（8分）从而有，A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角 （9分），三角形是直角三角形，EDBC ，又D是AC的中点，即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为. (14分) 4/解：（）设的公差为，由已知条件，（2分） 解得，（4分）所以（6分） （）， （8分） （12分）2013届理科数学三/四大题限时训练（3）答案：1、如图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.2、（1）证明：由题意知 则 （6分）（2），又平面. 平面平面. 过作/交于 过点作交于,则 为直线与平面所成的角. 在Rt中，.即直线与平面所成角为. （10分） （3）连结，平面.又平面，平面平面，.又，即（14分）【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF/AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.（1）设，则， ，. （6分）（2）由（1）知.由条件知A（1，0，0），B（1，0），.设，则 即直线为.（10分）（3）由（2）知C（3，0），记P（0，0，a），则，而，所以，=设为平面PAB的法向量，则，即，即. 进而得， 由,得（14分）3、（）解：记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，则.2分所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率. 5分（）解：随机变量的所有取值为. 7分； ；.10分所以，随机变量的分布列为:12分. 14分4、解：（1），而，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，因此 ( 5分)（2），( 7分)，即，当时，得，（10分）可验证也满足此式，因此 （12分）2013届理科数学三/四大题限时训练（4）1、（1）b2c，且a与b2c垂直，（3分）即，（4分）， .（6分）（2），即，（10分）即a与b共线， ab. （12分） 2、由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADEBCF，且AB=BC=BF=4，（1）连结取BE，易见BE通过点M。连结CE。EM=BM，CN=BNMNCE，CE面CDEFMN面CDE（4分）（2）作BQCF于Q，连结AQ。面BFC面ABFE，面ABFE面BEC=BF，AB面ABFE，ABBFAB面BCF，CF面BCFABCF，BQCF，ABBQ=BCF面ABQ，AQ面ABQAQCF，故为所求二面角的平面角。（7分）在RtABQ中tan=（8分）所以所求二面角的余弦值为。（9分）（3）棱锥ACDEF的体积：。（12分）3、解：()由已知得 解得:=,=,=. （）的可能取值为0，100，200，300，400. P(=0)= = P(=100)= 2=P(=200)= 2+= P(=300)= 2=P(=400)= = 随机变量的分布列为0100200300400p所求的数学期望为E=0+100+200+300+400=240(元)所以随机变量的数学期望为240元. 4、（1）解 f（x）=sinxsin(x+)sin(x+)=sinxcosx=-sinxcosx=-sin3xf（x）的极值点为x=+，kZ，从而它在区间（0，+）内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，an=+（n-1）=，（n=1，2，3，）.（2）证明 由an=知对任意正整数n,an都不是的整数倍.所以sinan0,从而bn=sinansinan+1sinan+20.于是=-1.又b1=sinsinsin=,bn是以为首项，-1为公比的等比数列.bn= （n=1，2，3，）.2013届理科数学三/四大题限时训练（5）1、(1) 解: 2分 3分 . 4分 的最小正周期为, 最大值为. 6分(2) 解:, . 7分 . 8分 为锐角，即, . . 10分 . 12分2、解：(1) 列联表补充如下：-3分喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050（2）-6分在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.-7分（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.-9分其概率分别为, -12分故的分布列为:-13分的期望值为: -14分ABCDC1图13、解：（）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1=6，故所求体积是 -4分 （）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示. -6分 证明:面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的ABCDD1A1B1C1图2正方形，于是 故所拼图形成立.-8分ABCDD1A1B1C1EHxyzG图3（）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G， 连结GA，在底面ABC内作BHAG，垂足为H，连结HB1，则B1HAG，故B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角. -10分 在RtABG中，则，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.-14分 方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）. 设向量n=（x，y，z），满足n，n，于是，解得. -12分 取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为. -14分4、解：（） -6分（）当时， -12分2013届理科数学三/四大题限时训练（6）1、解：（1） 6分（2） 7分 得 8分10分12分2、解： （1） 如图取BD中点M，连接AM，ME。因 1分 因 ， 满足：, 所以是BC为斜边的直角三角形，, 因是的中点,所以ME为的中位线 ， , 2分 是二面角的平面角= 3分 ,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线平面AEM 4分 因,为等腰直角三角形， 6分 7分（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，8分则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),，,D,C 9分设异面直线与所成角为,则 10分 11分由可知满足，是平面ACD的一个法向量, 12分记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d 则 13分 所以d 14分（2），(3)解法二：取AD中点N，连接MN,则MN是的中位线,MN/AB,又ME/CD所以直线与所成角为等于MN与ME所成的角，即或其补角中较小之一 8分，N为在斜边中点所以有NE=,MN=,ME=, .9分= 10分(3)记点到平面的距离d，则三棱锥B-ACD的体积, 11分又由（1）知AE是A-BCD的高、 .12分E为BC中点，AEBC 又, , 13分 到平面的距离 14分 解法三：(1) 因 ， 满足：, , 1分如图，以D为原点DB为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系， . 2分则条件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，, A(a,b,c) (由图知a0,b0,c0) .3分得 . 4分平面BCD的法向量可取,，所以平面ABD的一个法向量为 5分则锐二面角的余弦值 .6分从而有, 7分所以平面 9分(2)由（1），D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)， 设异面直线与所成角为,则 10分 11分(3)由可知满足，是平面ACD的一个法向量, 12分记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d 则 13分 所以d 14分3、解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P（A1）=1- P（）=1-=0123答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为；4分(2) 记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A2，由于各事件相互独立，故P（A2）=+ =， 答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是8分（3）根据题意服从二项分布，12分（3）方法二： 12分说明：（1），（2）两问没有文字说明分别扣1分，没有答，分别扣1分。第（3）问方法对，算错数的扣2分4、解：(1) 是与的等差中项 （2）由（1）得 6分 的等比中项 综上所述，总有成立 14分解法二：（2）的等比中项 ii)假设时不等式成立， 则n=k+1时要证明 只需证明： 即只需证明： .9分 .10分 只需证明只需证明 13分由 可知上面结论都成立 综合(i)(ii)可知, 成立 .14分法三：n=1时同法一：时左边证明同法一 10分当时，证明右边如下： 只需证明 11分 只需证明只需证明 13分由 可知上面结论都成立 综上所述, 成立 .14分注1：必须才行 实际上2013届理科数学三/四大题限时训练（7）1. （本题满分12分）解：（1）由向量共线有： 2分 ，4分 即， 5分 又，所以，则=，即 7分（2）由余弦定理得8分则，10分 所以当且仅当时等号成立 12分 所以 14分2. （本题满分14分）解：（1）由图乙知输出的 2分47（mg/100ml） 3分S的统计意义为60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值. 4分（2）酒精浓度属于7090的范围的人数为 5分取值为0，1，2， 8分分布列如下： 9分012P吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率 10分（3）判断结果：长期酒后喝茶与肾损伤有关. 11分在长期酒后喝茶的条件下有肾损伤的概率为 12分在酒后不喝茶的条件下有肾损伤的概率为 13分若“酒后喝茶与肾损伤”无关，则，但与相差较多，所以应该有关.14分3. （本题满分12分）解：（1）依题意得，而均在内且相交，. 2分分别以为轴，如图建立空间直角坐标系令长方形边长为2，又，故得 3分则 4分得 5分，即点N的位置在线段C1C的四等分点靠近C处.6分（2）由（1）得，设分别为平面的一个法向量.由即得8分由即得10分二面角MAB1N的余弦值为. 12分4. （本题满分14分）解：由已知得, 所以, 2分即，又，, 3分所以数列为等差数列. 4分由得：且， 即， 5分， 7分则 8分 ； 9分设存在满足条件，则有，10分即，所以，必为偶数，设为， 11分则， 有或，即， 12分与已知矛盾 13分不存在使得W#W$W%.K*S*&5U三数成等比数列 14分2013届理科数学三/四大题限时训练（8）1.解(1)由函数的周期为，可知，所以2分又 又5分(2)由7分又因9分 所以12分2.解析：（1）连结，平面，平面，又，平面，又，分别是、的中点，平面，又平面，平面平面；4分（2）连结，平面，平面平面，故 -6分（3）平面，平面，在等腰三角形中，点为的中点，为所求二面角的平面角，8分点是的中点，所以在矩形中，可求得，10分在中，由余弦定理可求得，有空间位置关系知二面角为钝角二面角的余弦值为12分3.（1）依题意可知：平面区域的整点为共有13个，平面区域的整点为共有5个，4分6分 (2)依题意可得：平面区域的面积为：，平面区域的面积为：在区域内任取1个点，则该点在区域内的概率为， 易知：的可能取值为， 8分 的分布列为： 012312分的数学期望（或者： ，故）14分A4.解（1）设动圆圆心的坐标为，动圆半径为，则 ，且 可得 3分由于圆在直线的上方，所以动圆的圆心应该在直线的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心的轨迹的方程6分 (2)如图示，设点的坐标为，则切线的斜率为，可得直线的斜率为，所以直线PQ的方程为8分由于该直线经过点，所以有，得因为点在第一象限，所以，点坐标为，直线的方程为 10分把直线的方程与轨迹的方程联立得，解得，可得点的坐标为12分所以 14分 5.解：(1),， 2分 有极值，方程有两个不等实 ,由、可得，,故实数的取值范围是 4分(2)存在.5分 由(1)可知，令f/(x)=0 函数的增减性随自变量的变化情况如下表：+0-0+单调增极大值单调减极小值单调增时f(x)取极小值，则, 7分若，即则 (舍)8分若存在实数,使得函数的极小值为1 9分(3), l0分其中等号成立的条件为 13分 14分2013届理科数学三/四大题限时训练（9）1.(1)解：4分(2)解法2：因为 7分所以 12分2.(1)得分为40分，8道题必须全做对.在其余的三道题中，有一道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道答对的概率为，所以得分为40分的概率为：P （6分）(2)依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40. 得分为25分表示只做对了5道题，余各题都做错，所以概率为： ：得分为30分的概率为： 得分为35分的概率为： ； 得分为40分的概率为： （12分）3.（1）取PD中点Q,连结AQ， ks5u,四边形DCEQ为平行四边形， ,ABCD为正方形，,四边形BEQA为平行四边形，AQ/BE，AQ平面PAD,BE平面PAD, BE/平面PAD; （2）延长PE交DC于点K，连结BK，则平面PBE与平面ABCD的交线为BK,平面ABCD, 又易知，E为P、G中点，C为D，K中点，由正方形ABCD可得BD=BK,且BDBK，平面PDB,，为所求二面角的平面角， ，所以平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦为； 解法2：（1）,设平面PDA的法向量为，可取，（2）设平面ABCD的法向量为，可取，设平面PBE的法向量为，所以平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦为.4.解：（1）， 为首次为-2，公差为-1的等差数列ks5u=-2+（n-1）（-1）=-（n+1） (2) 令= Cn+1-Cn0Cn为单调递增数列m19 又 m的最大值为185.证明：(1)设，由题意知的斜率必存在 设，代入得 ,， 化简得： 同理：, 解得： (2)令： ， 令 得： 所以 当 ，时 在上单调递减；所以 当 ，时 在上单调递增； 在时取得最小值， 要恒成立，只要即 ，解得(3)由(2)得，取有 化简得： 变形得： 即 2013届理科数学三/四大题限时训练（10）1.解：（1）图象上相邻的两个最高点之间的距离为, , 则. 2分是偶函数, , 又，则5分（2）由已知得，则8分 12分2.解：（1）的所有可能取值为0，1，2，依题意得： -分的分布列为012 -分（2）设“甲、乙都不被选中”为事件，则所求概率为 -分（3）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件， -10分（或直接得-1分3.解：（1）解：取CE中点P，连结FP、BP，F为CD的中点，FP/DE，且FP=又AB/DE，且AB=AB/FP，且AB=FP，ABPF为平行四边形，AF/BP-2分又AF平面BCE，BP平面BCE，AF/平面BCE-4分 （2）ACD为正三角形，AFCD ,AB平面ACD，DE/AB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF,又AFCD，CDDE=D，AF平面CDE-6分又BP/AF，BP平面CDE。又BP平面BCE，平面BCE平面CDE-8分（3）法一、由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系Fxyz.设AC=2，则C（0，1，0），-9分 -11分显然，为平面ACD的法向量,设面BCE与面ACD所成锐二面角为则.即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45. -14分法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO则由是的中位线，则在， ，又 -12分即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45-14分4.解：（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q，由题知: ， ，解直得,q=2或q=-8（舍去），d=1；-5分 ； -7分(2)证明：， 法一:下面用数学归纳法证明对一切正整数成立(1)，命题成立 -8分(2)则当=，这就是说当时命题成立.-12分综上所述原命题成立 -14分法二、 -14分法三、设数列，则 -9分 -12分数列单调递增，于是，而, -14分5.（1）解：由，得，再由，得-2分由题意可知， 解方程组 得-5分所以椭圆的方程为 -6分(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为, -7分 于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得 -8分,由得-9分设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是-11分当k时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得 由整理得-13分,综