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平面上两点间的距离 已知四点（，），（，）， （，），（，），则四边形ABCD 是否为平行四边形？ 分析：如何判断一个四边形是否为平行四边形？ 1.判断两组对边是否对应平行 2.判断一组对边是否平行且相等 问题:如何计算两点间的距离? 3.对角线互相平分的四边形为平行四边形 过点向轴作垂线，过点向轴作垂线， 过点向轴作垂线，过点向轴作垂线， 两条垂线交于点，则点的坐标是两条垂线交于点，则点的坐标是( (，），）， 且且 所以， 在 中， 因此，间的距离 类似可得 ，所以 . 同理有 ,故四边形ABCD为平行四边形 一般地说，已知两点 如何求两点间的距离？ 如果 ，过 分别向 轴、 轴作 垂线交于点 ，则点 的坐标为 . 合作探究 所以,在 中, ( ) 因为 如果 ,那么 ( )式仍成立. ( ) 式也成立 如果 , 那么 ， 由此，我们得到平面上两点 间的 距离公式 (1) 求 两点间的距离; (2)已知 两点间的距离是17,求实数 的值. 分析:利用距离公式 例1 例题讲解 现在再来考察本节开头的问题,由于两条对角线互 相平分的四边形是平行四边形,所以,只需说明对角 线AC和BD的中点相同,即可推得四边形ABCD为平 行四边形. 那怎样求线段AC中点的坐标呢? 设线段AC的中点M的坐标为 ,过点A,M,C向 轴作垂线,垂足分别为 , 则 ， ， 的横坐标分别为， 由 ，得 ， 解得同理可得 所以线段的中点坐标为 同理可得线段的中点坐标也为 ，因此四边形 的对角线，在点互相平分，故这个 四边形为平行四边形 一般地， 对于平面上两点 ，线段 的中点是 ，则 此即中点坐标公式 中点坐标公式的证明 可仿照上例的推导过程加以证明，亦可用距离公式及 斜率公式证明. 下面我们仅就 的情况，用后一种方法加以证明 由 得三点共线. 第一步：利用斜率公式证明点 在 上. 第二步:利用距离公式证明 由 得 所以点 为 的中点 当 时,结论显然成立. 分析: .先利用中点坐标公式求出点M 的坐标, 可利用两点式求中线AM所在直 线的方程 再利用两点间距离公式求得中 线AM的长 已知 的顶点坐标为 , 求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程. 例2. 例3 由两点间距离公式易证得 已知 是直角三角形,斜边的中点为 ,建立适当的直角坐标系,证明: 分析: 设出两点坐标 , 则由中点坐标公式 练 习 练习 ， 小 结: 1. 平面上两点 间的距离
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