曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院).doc

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薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃芀芀螃蝿莀莂薆肈荿蒄螂羄莈薇薄袀莇莆螀袆羃葿蚃螂羃薁袈肁羂芁蚁羇羁莃袇袃羀蒅虿蝿聿薈蒂肇肈芇蚈羃肇蒀蒀罿肇薂螆袅肆节蕿螁肅莄螄肀肄蒆薇羆肃薈螂袂膂芈薅螈膁莀螁蚄膁薃薄肂膀节衿羈腿莅蚂袄膈蒇袇螀膇蕿蚀聿芆艿蒃羅芅莁蚈袁芅蒄蒁螇芄膃蚇螃芃莆薀肁节蒈螅羇芁薀薈袃 曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)第十章 曲线积分与曲面积分参考答案第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题1曲线积分f(x)-exsinydx-f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导L数，且f(0)=0，则f(x)= B A.12(e-x-ex) B. 12(ex-e-x) C. 12(ex+e-x) D.02闭曲线C为x+y=1的正向，则-ydx+xdyCx+y= CA.0 B.2 C.4 D.63闭曲线C为4x2+y2=1的正向，则-ydx+xdyC4x2+y2= DA.-2p B. 2p C.0 D. p4S为YOZ平面上y2+z21，则(x2+y2+z2)ds= DSA.0 B. p C. 1p D. 142p5设C:x2+y2=a2，则(x2+y2)ds= CCA.2pa2 B. pa2 C. 2pa3 D. 4pa36. 设S为球面x2+y2+z2=1，则曲面积分S B A.4p B.2p C.p D.12p7. 设L是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分Lyds= C A. 12 B. -1222 C. 2 D. -28. 设I=Lyds 其中L是抛物线y=x2上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧, 则I=D A. 555555-155-6 B.12 C.6 D. 1129. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 s，那么 s 是（ D ）A. 12lxdx-ydy； B. 12lydy-xdx；- 1 -第十章 曲线积分与曲面积分参考答案C.211； D. ydx-xdyxdy-ydx。2l2l22210设S:x+y+z=R(z0)，S1为S在第一卦限中部分，则有 CA.C.xds=4xds B.yds=4ydsSS1SS1zds=4zds D.xyzds=4xyzdsSS1SS1 二、填空题1. 设L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分Lydx-(ey22+x)dy=222.S为球面x+y+z=a2的外侧,则(y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy=s3.x2+y2=1xydx-xdy2+y2=-2p4曲线积分C(x2+y2)ds，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为2pa3z=2z0)，则曲面积分(x2+y2+z2)ds6. 设曲线C为圆周x+y=1,则曲线积分2(xC2+y2-3x)ds7. 设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分8. 设S为上半球面z=C(x+y)ds=83，则曲面积分S的值为 p。9. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影区域为D，则曲面z=f（x，y）的面积是S=+(Dz2z)+()2ds xy310设L是抛物线y=x上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(2x-4y)dx=L11、设G为螺旋线x=cost,y=sint,z=上相应于t从0到p的一段弧，则曲线积分I=(x2+y2+z2)ds= 2p(1+p2)G12、设L为x+y=a的正向，则222xdy-ydxLx2+y2= 2p 。- 2 -第十章 曲线积分与曲面积分参考答案三、计算题 1L，其中L为圆周x2+y2=1，直线y=x及x轴在第一象限所围图形的边界。解：记线段OA方程y=x,0x线段OB方程y=0,0x1。x=cosqp,0q ，圆弧AB方程42y=sinq则原式OAABOBp 4edqexdx 1 2(e-1)+ 2p4e L+yxy+ln(xdy，其中L为曲线y=sinx,0xp与直线段y=0,0xp所围闭区域D的正向边界。 解：利用格林公式，P= ，Q=yxy+ln(x+，则，P=yQ=y2x故原式(DQP-)dxdy=y2dxdy=xyD22p02dxsinx ydy21p34 sinxdx=0393ydx+xdy，其中L为圆周x+y=R的上半部分，L的方向为逆时针。L22解：L的参数方程为x=Rcost，t从0变化到p。y=Rsint故原式p R2sin2t(-Rsint)+R2cos2t(Rcost)dt4322-R (1-cost)(-sint)+(1-sint)costdt03p22R34求抛物面z=x+y被平面z=1所割下的有界部分S的面积。解：曲面S的方程为z=x+y,(x,y)D，这里D为S在XOY平面的投影区域22(x,y)x2+y21。故所求面积D=D - 3 -第十章 曲线积分与曲面积分参考答案=dq02p0=x1p 62225、计算(esiny-my)dx+(ecosy-m)dy，其中L为圆(x-a)+y=a(a0)的上Lx半圆周，方向为从点A(2a,0)沿L到原点O。解：添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式P=(exsiny-my)，Q=excosy-m，于是(esiny-my)dx+(ecosy-m)dyLPQ=excosy-m，=excosy yxxxxOA(esiny-my)dx+(excosy-m)dy mpa2mdxdy= 2D而xx(esiny-my)dx+(ecosy-m)dy0dx+0=0，于是便有 2aOA0(eL2xsiny-mydx)+e(222xmpa2 cyo-smdy)222226(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz，其中L为球面x+y+z=1在第一L2卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面 y=cos2z=sint于是0422222222 (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dzsint(-sint)-cost(cost)dtp32AB由对称性即得(yL2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)dz=3(y2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)dz=4AB7(x+1)dydz+(y+1)dzdx+(z+1)dxdy，其中S为平面x+y+z=1,x=0,y=0,Sz=0所围立体的表面的外侧。解：记S1为该表面在XOY平面内的部分，S2为该表面在YOZ平面内的部分，- 4 -第十章 曲线积分与曲面积分参考答案S3为该表面在XOZ平面 22x+y8计算曲面积分：(x+y+z)dydz+2y+sin(z+x)dzdx+(3z+e)dxdy，其中 于是所求积分为2-S+S+为曲面x+y+z=1的外侧。解：利用高斯公式，所求积分等于11=(1+2+3)dxdydz68=8 32u+v+w19. 计算I=xydydz+yzdzdx+xzdxdy，其中S为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立s体的表面外侧解：设V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体由Gass公式得:I=(x+y+z)dxdydzV11-x1-x-y =dxdy(x+y+z)dz 000=1 8- 5 -第十章 曲线积分与曲面积分参考答案10计算I=Gx3dx+3zy2dy-x2ydz,其中G是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段AB解：直线段AB的方程是xyz=；化为参数方程得： 321x=3t, y=2t, z=t, t从1变到0，所以：I=Gx3dx+3zy2dy-x2ydz 01(3t)33+3t(2t)22-(3t)22tdt87t3dt=-1087 411. 计算曲线积分I=AMO(esiny-2y)dx+(ecosy-2)dy, 其中AMO是由点A(a,0)22xx至点O(0, 0) 的上半圆周x+y=ax解：在x轴上连接点O(0, 0), A(a, 0)将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA在线段OA上, -(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy=0 OA从而AMO=AMO+OA-=AMOA又由Green公式得:AMOA(exsiny-2y)dx+(ecosy-2)dy=xx2+y2ax2dxdy=pa24 222212. 计算曲线积分z3dx+x3dy+y3dz其中L是z=2(x+y)与z=3-x-y 的交线L沿着曲线的正向看是逆时针方向解：将L写成参数方程:x=cost, y=sint, z=2 t: 02p32p2p于是: z3dx+x3dy+y3dz=-8sintdt+cos4tdt =p 00L4另证：由斯托克斯公式得3Lzdx+x3dy+y3dz=(3y2-0)dydz+(3z2-0)dxdz+(3x2-0)dxdy:z=2,x2+y21上侧，则：Lzdx+xdy+ydz=3333332xdxdy=3dqrcosqdr=p 004x2+y2122p113. 设曲面S为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S的面积I解：S在xoy平面的投影区域为：Dxy=(x,y)0y1-x,0x1- 6 - 第十章 曲线积分与曲面积分参考答案I=dS=dxdydxSDxy11-x003dy103(1-x)dx= 22214. 计算曲线积分(x-y)dx+(x+y)dyx2+y2L其中L是沿着圆(x-1)+(y-1)=1 从点A(0,1)到点B(2, 1)的上半单位圆弧解：设P(x,y)=x-yx+y22， Q(x,y)=x+yx+y22PQy2-x2-2xy=当x+y0时， 222yx(x+y)22故：所求曲线积分在不包围原点的区域 则：(x-y)dx+(x+y)dyx+y22L=AB(x-y)dx+(x+y)dyx+y22 =(15. 确定l的值，使曲线积分12x-1)dx =ln5-arctan2 022x+12C(x+4xyl)dx+(6xl-1y2-2y)dy在XoY平面上与路径无关。当起点为(0,0)，终点为(3,1)时，求此曲线积分的值。解：由已知，P=x+4xy,Q=6x由条件得 2ll-12y-2y； PQl-1l-2 , 即 4lxy=6(l-1)x,l=3, =yx(3,1)(0,0)132322223x+4xydx+6xy-2ydy=x-y+2xy()()(0,0)3(3,1)222=26 1 zS16. 设曲面S为球面x+y+z=4被平面z=1截出的顶部，计算I=解：S的方程为：z=4-x2-y2S在xoy平面的投影区域为：Dxy=(x,y)x+y3I=22Dxy4-x22-ydq202p02rdr 4pln2 4-r2222217. 计算I=yzdydz+xzdzdx+(x+y+z)dxdy，其中是x+y+(z-a)=a，- 7 -第十章 曲线积分与曲面积分参考答案0za，取下侧解：作辅助曲面1: z=a，(x+y222222a2)取上侧 设W为x+y+(z-a)=a,z=a所围闭区域Dxy为平面区域x2+y2a2I=(+1-)yzdydz+xzdxdz+(x+y+z)dxdy 1=dxdydz-WDxy(x+y+a)dxdy=23pa-adxdy (x+y)dxdy=0) 3DxyDxy=-pa 18.L为上半椭圆圆周133x=acost，取顺时针方向，求ydx-xdy.Ly=bsintLydx-xdy=bsint(-asint)-acost(bcost)dt p0=-abdtp019=abp.Sydzdx+(z2-2z)dxdy，其中S为锥面z=与z=1所围的整个曲面的外侧。解：由高斯公式，可得I=(1+1+2z-2)dvW=2zdvW=2dqrdrzdz002p11 r=p2.x2y220计算曲线积分I=L(y-e)dx+(3x+e)dy，其中L是椭圆a2+b2=1的正向。 xy解：令P=y-e, Q=3x+e, 则xyQP-=2xy。设L所围成的闭区域为D，则其面积s=pab。- 8 -第十章 曲线积分与曲面积分参考答案从而由格林公式可得xyI=(y-e)dx+(3x+e)dy=2dxdy=2dxdy=2pab. LDD21设S为柱面x+z=a在使得x0，y0的两个卦限 0623. 计算曲面积分I=1222，其中是旋转抛物面(z+x)dydz+zdxdyz=(x+y)介于S2Sz=0及z=2之间部分的下侧。解：利用高斯公式，取S1:z=2且x+y4。取上侧，S与S1构成封闭的外侧曲面，所围的闭域为W，S1对应的Dxy为：x+y4。 2222- 9 -第十章 曲线积分与曲面积分参考答案(zS2+x)dydz+zdxdy=S+S1(zW2+x)dydz+zdxdy-(z2+x)dydz+zdxdyS1=(1+1)dv-2dxdyS1=2dv-2dxdyWDxy=2dqdr12rdz-2p22002p22r=8p-8p=0.24计算曲线积分I=C(y+x)dx+(y-x)dyx2+y2，其中C是自点A(-2,1)沿曲线y=-cosp2x到点B(2,1)的曲线段。 x+yy-xPx2-2xy-y2Q2解：P=2,Q=2,=,(x+y20), 222x+yx+yy(x2+y2)x取小圆周Cd:x+y=d,d充分小,取逆时针方向,则由Green公式可得: 22I=1d2Cd(y+x)dx+(y-x)dy-221+xdx=-2p+2arctan2 21+x25用高斯公式计算22x-ydxdy+y-zxdydz+=1及平面，其中柱面S:y()()xSz=0,z=3围成封闭曲面的外侧。解： P=(y-z)x,Q=0,R=x-yPQR=y-z,=0= 0xyz原式=(y-z)dv=(rsinq-z)rdrdqdzWW=2p02pdqrdr(rsinq-z)dz 0013 =09dq3r2sinq-rdr 021 =2p099psinq-dq = -42- 10 -第十章 曲线积分与曲面积分参考答案2x8z+1dydz-4yzdzdx+y-2z()()dxdy，其中S是曲面S26计算曲面积分I=z=1+x2+y2被平面z=3所截下的部分，取下側。x2+y22解：补S1:,取上侧,I=-, 而 z=3S+S1S1S+S1=dv=dzdxdy=p(z-1)dz=2p,其中D(z):x2+y2z-1 W1D(z)133=(y-18)dxdy=-18dxdy=-36p, I=38p S1DxyDxy27计算曲线积分(x+xy)dx+(x+y)dy，其中L是区域0x1， l3220y1的边界正向。解：利用Green公式1322l1(x+xy)dx+(x+y)dy=xdxdyxdydx=D001 228、计算曲面积分的上侧。解：222xdydz+ydxdz+zdxdy，其中为平面方程x+y+z=1在第一卦限1222222xdydz+ydxdz+zdxdyx+y+(1-x-y)dxdy= 4D222xdydz=ydzdx=zdxdy， SSS或由对称性：而2zdxdy=S11，故I=。124=dxdy=dydz=dzdx可知。 29. 计算L-xcosydx+ysinxdy，其中L是由点A（0，0）到B（，2）的直线段。 解：AB的方程y=2x x(0,p) dy=2dxL-xcosydx+ysinxdy=(-xcos2x+4xsinx)dx=4p 0p30、设f(x)可微，f(0)=1且曲线积分L2f(x)+e2xydx+f(x)dy与路径无关。求f(x)。- 11 -第十章 曲线积分与曲面积分参考答案解：PQ=2f(x)+e2x,=f(x) yxPQ=,有2f(x)+e2x=f(x)。令y=f(x)， yx因该项积分与路径无关，所以得微分方程y-2y=e2x，解得y=e2x(x+c)，（2分）代入条件f(0)=1得C=1 从而有y=e2x(x+1) 31、计算对面积的曲面积分解:Zx=2ds, S: z=其中1z2 。 yzS2Zy=XOY平面上的投影为1x2+y4 2= 原式=Dxy(2yx2+y2dqr5sin2qdr 012p2p2 1-sin2q24q0162r=12632、计算曲面积分侧。 22z=+，其中是曲面在z1的部分的下2x+zdydz+zdxdyy()x解：补充曲面1:z=1且取上侧，又PQR+=3，由高斯公式 xyz(2x+z)dydz+zdxdy=(2x+z)dydz+zdxdy-(2x+z)dydz+zdxdy+112p11=3dxdydz-Wx2+21ydxdy=dqrdr3dz-p=00r23pp-p= 22四、综合题1、证明在整个XOY平面上，(esiny-my)dx+(ecosy-mx)dy是某个函数的全微分，求这样的一个函数并计算(esiny-my)dx+(ecosy-mx)dy，其中L为从(0,0)到Lxxxx(1,1)的任意一条道路。解：令P(x,y)=esiny-my，Q(x,y)=ecosy-mx，则有 xx-