电动力学习题.doc

Chapter1电磁现象的普遍规律计算、证明题1. 真空中有一静电场，场中各点，试证明(1)当时，即仅是的函数；(2)当时，是常矢量.【证】（1）由于，且电荷密度，故所以，得即（2）当时，由（1）中的结果，有所以，当时，电场为一常矢量，即均匀电场2. 在一个半径为的介质球内，极化强度矢量沿径向向外，其大小正比于离开球心的距离，试求介质内、外的电荷密度、电场强度和电位移矢量.【解】：利用介质中极化电荷体密度与极化强度的关系时，时，在的球面上，极化电荷体密度由于球内、球面上电荷分布具有球对称性，故电场也具有球对称性，做一半径为的同心球面.由高斯定理得，时，有时，有3. 证明在载有稳恒电流电流的线性介质中，磁化电流分布在介质的不均匀处以及存在自由电流的地方【证】：由于磁化电流密度对于线性介质，代入上式，得又因为是稳恒电流，故，所以4. 在同一空间中存在静止电荷的电场和永久磁铁的磁场，此时可能存在矢量，但没有能流，证明对于任一闭合表面有【证】：利用积分变化关系由于对于静止电荷、永久磁铁产生的电磁场，属于稳恒场，且传到电流，故代入得所以5. 电流稳恒地流过两个线性导电介质的交界面，已知两导电介质的电容率和电导率分别为、和、，交界面上的电流密度分别为和，试求交界面上自由电荷面密度.【解】：在介质的交界面上，自由电荷面密度由于且，其中为介质的电导率，所以，得到代入，得式中、是电流密度在界面处的法向分量由于电流稳恒，满足，在界面上有，即所以界面上自由电荷面密度6.已知一静电场，其中是实数，设某一时刻，在点沿轴方向把带电粒子注入到此电场中，带点粒子的质量为，电荷电量为，注入的初速度为，求粒子的运动方程的解，并说明所得的解得物理意义.【解】带电粒子运动时满足沿方向的分量方程分别为由已知条件，时，利用这些初始条件，解得，式中7. 用高斯公式证明【证】用非零的任意常矢量点乘上式左边得根据矢量分析公式令其中的，便得因此（1）式左边又由高斯公式有所以因为为非零的任意常矢量，故得8.用斯托克斯定理证明，式中为常矢量.【证】由矢量分析公式有令，则由斯托克斯公式和上式得9.设电磁场的能量密度为，能流密度为.试由麦克斯韦方程证明：对于各向同性的绝缘介质来说，【证】对绝缘介质来说，电导率为，这时麦克斯韦方程为由矢量分析公式得将（1）（2）两式代入上式得对于各向同性的介质来说，电容率和磁导率都是常量，故有将（4）（5）两式代入（3）式便得所以10.由麦克斯韦方程组出发，求电导率为、电容率为的均匀介质内部自由电荷量与时间的关系【解】设在这介质内部，由于某种原因，在时刻，有自由电荷分布，电荷量的密度为；到时刻，电荷量的密度变为，则由麦克斯韦方程组得求解，并利用初始条件便得当时，。这表明，在静电平衡是，电导率的均匀介质内自由电荷量密度为零.11.试由麦克斯韦方程组导出电荷守恒定律.【解】12若磁单极子存在，且静止磁荷之间的相互作用力遵守磁库仑定律，式中和分别是两个磁单极子的磁荷.（1）试求磁荷量的单位；（2）磁荷量为的磁单极子处在磁场中时，它的受力公式是还是？（3）试写出符合磁荷量守恒的麦克斯韦方程组.【解】由题给的磁库伦定律，得磁荷量的单位为故得的单位为1（2）磁库伦定律中的单位为这是磁场强度的单位，故知在磁场中的受力分析为（3）磁单极子存在时的麦克斯韦方程为式中为磁荷量密度，为磁荷流密度.由电荷量守恒定律知磁荷量守恒定律为根据矢量分析公式，由（2）（3）两式得可见（1）（2）（3）（4）式是满足磁荷量守恒的麦克斯韦方程组.13. 在空间有互相垂直的均匀电场和均匀磁场， 沿轴方向，沿轴方向.一电子(质量为，电荷量为)开始从原点出发，以速度向轴方向前进，如图所示.试求电子运动的轨迹.【解】 已知时， 电子的运动方程为 解（1）式并用初始条件得 这表明电子在平面内运动.将（2）式对时间积分，并利用初始条件得 将上式代入（3）式便得 解得 利用初始条件定出常数和，便得将上式的代入（5）式得 积分并利用初始条件得（4）式、（6）式和（7）式表明，电子的轨迹是y-z平面里的一条摆线（旋轮线）.14.大平行板电容器充电后，两板板间产生一均匀电场；另有一均匀磁场和垂直，如图（1）一电子(质量为，电荷量为)从负极板出来，初速很小，可当做零.不计重力.试证明：当两极板间的距离时，它不可能到达正极板.【解】取坐标如图（2）电场和磁场便为电子的运动方程为将（2）式积分并利用初始条件得将（3）式代入(1)式得求解并利用初始条件得的最大值为 （因为）当时，电子就不可能达到正极板.15.极子的电偶极矩为，如图（1）所示，试求它在处的点所产生的电势和电场强度.【解】 电偶极矩在点产生的电势，就是它的正负电荷在点产生的电势之和，设，则它在点产生的电势便为 式中参看图（2） 根据电偶极子的定义，,故上式中的项可略去，即所以=写成矢量形式即这就是电偶极子产生的电势的标准形式.由可求得电偶极子所产生的电场强度为 因为故（1）式可化为这就是电偶极子产生的电场强度的标准形式.Chapter2静电场1. 【】设真空中的电势为求相应的电荷分布.【答案】根据对区域，对区域，由此可见电荷应分布在半径为的球面上，设密度为，2. 【】两块无限大平行板间距为，电势分别为0和，若两板间，是由板算起的距离.(1) 用泊松方程求空间;(2) 求平板上的电荷密度.【答案】解：（1）设板间电势为，则满足由于电势只与有关，方程（1）化为代入（2）（3）中确定系数两板间电势（2）对处的板，电荷密度为对处的板，电荷密度为3. 【】有两个接地无穷大导体板橡胶，在它们围成的空间内有一点电荷，离两个板距离都是，求出该空间电势分布.答案：解：此题属于有两个边界条件下的一个点电荷，设两导体间电势为，并以所在的与导体板垂直的平面为平面，如图所示，点电荷的位置坐标为.为使两导体板电势为零，在空间放置五个像电荷. ，位于处；，位于处；，位于处；，位于处；，位于处；其实及五个像电荷正好唯一半径为的一个圆周上.并且将圆周六等分，这样两板的电势均为零，边界条件已经满足，板间点电势等于及五个像电荷电势的叠加式中、为及到长点的距离，可用坐标表示.4. 【】一点电荷位于两个均匀无限大的介质的分界面上，介质的电容率分别为和，求空间场的分布.答案：解：以为原点建立球坐标系，设两种介质中电场为在两种介质分界面上，电场及电位移矢量满足，即，即由于尝试解在分界面处是切向的，显然尝试解（1）式满足（2）、（3）式，作一个以为球心，半径为的球形高斯面，利用，得到其中、分别是两介质中的半球面，将（1）式代入积分，得因此介质中的电场为由（4）式出发也可得到周围的极化电荷总量.由于所以5. 【】在电容率为的均匀介质中，挖出一半径为的球形空腔，球心处放一电偶极子.试求：(1)空间各处的电势分布;(2)球形壁上的电荷面密度.答案：解：以偶极子中心为原点，以方向为轴建立坐标系，设球内、外电势为、，它们可表示为、满足的边值问题为由于电势具有轴对称性，且，所以代入（3）-（6）式确定其中系数于是，得球壁上得极化电荷面密度计算得6. 【】不接地导体球壳，内外半径分别为和，腔内有一点电荷距球心为，壳外有一点电荷距球心为，求腔内和壳外电势. 答案：解：对球壳的空间，设电势为，边界条件为如图在空腔内 距球心为处放置像电荷，在球心处放，才能使（1）式满足，因此其中、分别为、到场点的距离.导体球壳电势对球内空腔空间，设电势，满足的边界条件为由于，对于满足，因此在球外空间放置一像电荷，距球心为，这样可使，于是腔内电势为式中、分别为、到腔内场点的距离.7【P1002.2】试论证：在没有电荷的地方，电势既不能达到极大值，也不能达到极小值.【解】在真空中，电势满足泊松方程，在笛卡尔坐标系中，这个方程为在没有电荷的地方，故如果为极大，这不满足（1）式.可见，处不能有极大值.如果为极小，这也不满足（1）式，可见，处不能有极小值。在介质中，如为均匀介质，这电势满足式中是自由电荷量密度，是介质的电容率.在没有自由电荷的地方，（2）式变化为（1）式，这是仿前面的分析可得，在这样的地方，电势既不能有极大值也不能有极小值。因为在均匀介质中，极化电荷面密度为故在处，.即，无自由电荷处，也无极化电荷.如果介质为非均匀介质，则电势满足下列方程：在没有自由电荷的地方，故得在有极大值或极小值的地方，应有这时（3）式便化为（1）式。仿前面的分析，同样可得：在没有电荷的地方，电势既不能有极大值也不能有极小值。8【P1012.3】一平行板电容器两板板间距相距为，其间为空气；已知一极板电势为零，另一极板电势为.略去边缘效应，试由拉普拉斯方程，求两极板间的电势，并由求电场强度和两极板上电荷量的面密度。【解】以电势为零的极板的表面为平面，取笛卡尔坐标系如图所示，两极板间的电势满足拉普拉斯方程由对称性可知，与，无关，故上式化为解得利用边界条件时；时，定出上式中系数和，便得由电势得两极板间的电场强度为式中是方向上的单位矢量.上式表面，两极板间的电场是向下的均匀电场.由高斯定理得两极板上的电荷量面密度分别为和9【P1072.8】两个无穷大平行导体平面，相距为，电势都是零.它们之间有一条无穷长均匀带点直线，单位长度的电荷量为。这带电直线与导体平面平行，到一面的距离为，如图所示.试求两导体平面间的电势。【解】以一导体平面为平面，取笛卡尔坐标系，使带点直线通过轴并与轴平行，如图所示。根据对称性克制，两面间的电势与坐标轴无关，故本题可化为二维问题。除去，一点，满足拉普拉斯方程用分离变数法求解，令代入（1）式得考虑到边界条件，令，解得下面由边界条件定系数、和。因和时，故得。对于来说，由于在处有线电荷，所以要分开来考虑。令处的电势为，处的电势为，则当 时，；当 时，。故知式中系数，于是得又当，时，是连续的，故得，下面用，处的边界条件定的值。设平面上电荷量的面密度是为，则有但实际上在处不是面电荷，而是线电荷。我们可以把这线电荷看作是的面电荷，式中代表函数，便得把（2）（3）两式代入上式，便得两边乘以，然后对积分，积分极限从到，便得故得把代入（2）（3）式便得：除外，有这两式可以合写成这便是所要求的两导体平面间的电势。10【P1142.10】真空中有电场强度为的均匀电场，将半径为的一个导体球放到这个电场里。已知球的电势为，求球外的电场和球上的电荷。【解】先求球外的电势，然后由求电场强度，再求球上的电荷。在球外，由于没有自由电荷，所以电势满足拉普拉斯方程。以球心为原点，的方向为极轴的方向，取球坐标系。由问题的对称性可知，电势只是和的函数，而与方位角无关。因为本题所考虑的区域包括极轴（和）在内，而电势在极轴上应为有限值，故所求的电势（即拉普拉斯方程的解）便为式中是勒让德多项式，和是由边界条件决定的系数。因此，只要由边界条件定出系数和，问题就解决了。本题的边界条件有二：（1） 无穷远处的边界条件。由于只有球上有电荷，故在离球很远处，电场应趋于原来的电池，即当时，应满足式中是一个常量，它的值等于未放入导体球时，电场在点的电势。比较（1）（3）式得出：，。于是得（2） 球面上的边界条件。因为是导体球，故球面是一个等势面，按题意有即因为，是一个完备的正交函数系，故（6）式两边项的系数应相等。由此得出：，于是最后便得这就是我们所要求的球外（）的电势。下面求电场强度。由得的三个分量分别为于是得又因故可写作再求球上的电荷。球上电荷量的面密度为式中表示（即由球外接近球面）处的电场强度。令（13）式中的代入上式便得球面上的总电荷量为11【P1182.13】真空中有电场强度为的均匀电场，将半径为的一个均匀介质球放到这个电场里。已知球的电容率为，求各处的电场和极化电荷。【解】先求电势，然后由求电场强度，再求极化电荷。由于没有自由电荷，所以电势满足拉普拉斯方程。以球心为原点，的方向为极轴的方向，取球坐标系。由问题的对称性可知，电势只是和的函数。因为所考虑的区域包括极轴（和）在内，而电势在极轴上应为有限值，故所求的电势可写作剩下的问题是由边界条件定出和。由于球内外是两个不同的区域，电势的表达式可能不同。令球内的电势为，球外的电势为，再由边界条件分别定出他们的系数。（1） 无穷远处的边界条件。在离球无穷远处，电场应趋于原来的电池，即为方便起见，我们把未放入介质球内时电场在点的电势取作零。比较以上两式的系数，便得，于是（2） 球面上的边界条件。在球心处，电势因为有限值。故中的系数。于是（3） 球面上的边界条件在球面上（）有电势连续的法向分量连续把（3）（4）两式代入（5）式，比较两边的系数得出把（3）（4）两式代入（6）式，比较两边的系数得出由（7）至（10）式得出，分别代入（3）和（4）式，便得所求的电势为下面求电场强度，由（14）式得：球内（）的电场强度为可见球内电场是均匀电场，的方向与的方向相同。因，故由（13）式得：球外（）的电场强度为球的极化强度为球内的极化电荷量密度为球面上极化电荷量的面密度为12【P1212.14】真空中有电场强度为的均匀电场，一电容率为、半径为的介质球放在这电场中被均匀极化。设想这个介质球被垂直于的平面分割成两个半球，试求每个半球所受的静电力。【解】介质球内外的电场强度分别为由，介质球内的极化电荷量密度为零，故只有极化面电荷；由，介质球面上计划电荷量的面密度为式中是处的半径为的夹角。介质球被分割开后，当两半球之间相距为很小的狭缝，它们的极化强度不变，因此，根据，得两个半球的地面（相向的平面）上极化电荷量的面密度分别为式中分别代表各底面外法线方向上的单位矢量。为明确起见，我们考虑右边的半球，如图所示，这个半球地面上计划电荷量的面密度由上式为为了求出极化面电荷所受的力，需要求出面电荷所在处的电场强度。根据公式，面电荷所在处的电场强度为式中和分别表示从该面电荷两边趋于该面时电场强度的极限值。于是由（1）（2）两式得出，所在处的电场强度为式中是球面外法线方向上的单位矢量，如图所示对于所在处来说，一边是介质半球，其中的电场强度为；另一边是狭缝，设狭缝中的电场强度为，的方向与相同，如图所示，我们用高斯定理求。作一扁鼓形高斯面，两地面与半球地面平行，面积均为，令表示半球底面外法线方向上的单位矢量，则有高斯定理得即所以故得于是由（6）式得，所在处的电场强度为有了电场强度，就可以求电荷所受的力。先计算所受的力，由对称性克制，半球面上极化电荷所受的合力其方向应在的方向上，令代表方向上的单位矢量，则得的大小为将（3）和（7）两式代入（13）式得再计算所受的力。半球面是平面，极化电荷均匀分布在它的上面。（5）和（12）两式可知，半球底面上的极化电荷所受的力与的方向相反，其大小为最后由（14）（15）两式得，这个半球所受的静电力为式中符号表示，与方向相反。由对称性或由计算可知，左半球所受的静电力为13【P1312.19】半径为、电容率为的均匀介质球的中心有一个由自由电荷组成的电偶极子（其电偶极矩为），球外充满了电容率为的另一种无穷大的介质。试求各处的电势和极化电荷。【解】1两点说明（1）极化电荷。在均匀介质内部，极化电荷量密度为式中是处的自由电荷量面密度。因此，在的地方，即在均匀介质内没有自由电荷的地方，也没有极化电荷。如果在均匀介质内某点放一个电荷量为的自由点电荷，则在同一点将产生一个电荷量为的极化点电荷。因此，在均匀介质内放一个由自由电荷组成的电偶极矩为的电偶极子，则在该点将产生一个电偶极矩为的由极化电荷组成的电偶极子。因，故与方向相反。（2）介质中的场。在电容率为的无限大均匀介质中放入一个电荷量为的自由点电荷，它所产生的电势为这个电势也可以这样求得，即认为它是与相应的极化电荷在真空中产生的场的叠加，即2.本题的解由以上说明可见，本题中有三种电荷：球心的自由电偶子和极化电偶极子，以及球面上的极化面电荷。根据对称性，以球心为原点，的方向为极轴方向，取球坐标系。在球心附近，电势应该趋于球心的电偶极子的电势，即和在真空中产生的电势的叠加，亦即。因此，球内的电势为式中是球面上的极化电荷在球内产生的电势。设球外的电势为，则因在球面上电势连续，便有。因为内含有，所以内也应有这一项。于是便为式中是球面上的极化电荷在球外产生的电势。和分别在球内外满足拉普拉斯方程。由于对称性，他们都与方位角无关。它们在极轴（和）应为有限值。考虑到是为有限值；时。故拉普拉斯方程的解为所以在处（球面上）的边界条件为把（8）（9）两式分别代入以上两式，然后比较的系数，结果得出于是所求的解为这便是所求的电势。下面求极化电荷由于在均匀介质内部，在没有自由电荷的地方就没有极化电荷，所以本题出球心有极化电荷构成的电荷极子外，在两介质内部均无极化电荷。在两介质交界面上，有一层极化面电荷，其电荷量的面密度为因为所以将（14）（15）两式代入上市，经过计算，便得14【P1332.20】半径为的金属球带有电荷量，放在半径为的同心金属球壳内；球与壳间充满两种均匀介质，电容率分别为和，他们的交界面是通过球心的平面，如图所示。已知壳的电势为零。试求：（1）介质内的电场强度；（2）球和壳上的自由电荷分布；（3）介质的极化电荷。【解】根据对称性，以球心为原点，垂直于交界面的直线为极轴，取球坐标系。介质中的电势满足拉普拉斯方程。由于对称性，与方位角无关，且在极轴上（包括和）应为有限值，故用分离变量法解拉普拉斯方程得边界条件为时，（球的电势） （3）时，（壳的电势） （4）于是得：当时有比较（5）式两边的的系数得比较（6）式两边的系数得当时有由（7）（9）（11）（12）四式解得于是所求的电势为可见两介质中的电势的表达式相同，下面统一使用表示，即现在要求用提给的电荷量来表示。为此，先求电场强度，由（16）式得两介质中的电位移分别为和由高斯定理得代入（17）（18）和（19）三式，便得所求的电场强度和电位移如下（2）球面上两半自由电荷量的面密度分别为和壳内壁上两半自由电荷量的面密度分别为和因壳的电势为零，故壳外电场强度为零，所以壳的外表面上没有电荷（3）在介质中，极化电荷量的密度为同样可得介质中极化电荷量的密度两介质内外表面上极化电荷量的面密度分别计算如下：Chapter3静磁场1. 真空中有一半径为的均匀磁化球，磁化强度为.试求它的磁标势和磁感应强度.答案：解：以球心为原点，方向为极轴，去球坐标系如图所示，因为没有自由电流，故，所以存在磁标势，使得.又因，故知球内外的因在极轴上有确定值，故得上式的通解为在球内，时，有限，故在球外，时，故下面用边界条件定系数.当时，故得当时，即，故有比较两边的系数，得联立（1）（2）（3）式，得于是，得所求的磁标势为所求的磁感应强度为zLNSrP2. 一长度为、半径为的长磁棒已被均匀此话，磁化强度为，与轴线平行.以棒的中心为源点，的方向取极轴，取球坐标如图所示，试求处的磁感应强度.答案解：如图，在处，磁棒可当做一个磁偶极子，它的磁矩为磁标势为于是，所求的磁感应强度为上式可写成3. 真空中友磁感应强度为的均匀磁场，现将一无穷长半径为，磁导率为的均匀介质圆柱放入其中，圆柱轴线与垂直.试求各处的磁感强度.答案：解：建立如图所示柱坐标系，坐标原点在轴线上，轴线为轴，的方向为的方向，由于空间没有自由电流存在，故存在磁标势，且满足拉普拉斯方程.由于对称性，与无关.于是得用分离变数法求解.令代入（1）式，得因应是的以为周期的函数，故取式中为整数，解得由于对称性，故得.所以将（3）式代入（2），得这是二阶欧勒方程，其解为于是，得（1）式的通解为式中是时的解.在柱内，有限，故可写作在柱外，（的磁标势），故时，比较两边的系数，得又时，的法向分量连续，即将和代入上式计算，然后比较的系数，得解（4）（5）式，得于是，得最后所求的磁感应强度为 Chapter4电磁波的传播1. 在电容率为、磁导率为的均匀介质中，有一个沿轴穿破的单色平面电磁波，已知它的电场强度为，式中、和都与，无关，试求它的：(1)磁场强度；(2)场能密度的瞬时值和平均值；(3)坡印廷矢量的瞬时值和平均值.答案解：（1）式中积分常数是与无关的量，不属于电磁波，故略去，又是传播矢量，故得或者，直接由单色平面电磁波的公式直接写出上式亦可.（2）场能密度的瞬时值为场能密度的平均值为（3）坡印亭矢量（能流密度）的瞬时值为坡印亭矢量的平均值为2. 平面电磁波的能量传播速度定义为，式中是坡印廷矢量，是电磁场的能量密度.试证明：在无色散介质中，能量速度等于相速度.答案：证:电磁波的相速度定义为式中和分别为介质的电容率和磁导率, 是电磁波的传播方向上的单位矢量.平面电磁波的能流密度矢量为3. 由理想导体制成的矩形波导管，横截面宽为，高为，设管轴与轴平行.(1)证明波导管内不能传播单色波；(2)求波的管壁电流和传输功率.答案：解（1）单色波的电场为该波的磁场为若上述波是矩形波吊罐内的电磁波，则应该满足波导管壁上得边界条件于是，得显然，（1）（2）两式不满足（3）式，故不能在矩形波导管中传播.（2）波的电磁场为对于面，同理面，面，同理面上，传输功率，而所以4.【P2653.2】在电容率为、磁导率为的均匀介质中，有一个沿轴传播的单色平面电磁波。已知它的电场强度为，式中、都与，无关。试求它的：（1）磁场强度；（2）场能密度的瞬时值和平均值；（3）坡印亭矢量的瞬时值和平均值。【解】（1）求。所以式中积分常数是与无关的量，不属于电磁波，故略去。又是传播矢量，故得或者，直接有单色平面电磁波的公式直接写出上式亦可。（3） 场能密度的瞬时值为场能密度的平均值为（4） 坡印亭矢量（能流密度）的瞬时值为坡印亭适量的平均值为或由公式计算5.【P2663.3】有两个相互独立的单色平面电磁波，在真空中沿同一方向传播，它们的频率和振幅都相同。以它们的传播方向为轴方向，取笛卡尔坐标系，它们的场量分别为和，假定这两个波的相位差为，试以电场为例，说明下列三种情况下合成的电磁波的偏振（极化）状态：（1）为某一确定的值；（2）；（3）。【解】（1）依题意，在空间任一点，这两个波的电场强度随时间变化的关系可表示为式中是它们的角频率，和分别是他们的振幅。于是在这一点的合成电场便为由（1）和（2）两式得由以上两式消去得所以这是一个椭圆方程，它的图形如图所示。由此可见，具有确定相位差的两个独立的线偏振波（或称线极化波）叠加而成的波是一个椭圆偏振波。当时间经过一个周期，其电场强度的尖端便在椭圆上扫描一圈。（2），即和的相位相同，这是（6）式便化为这时椭圆蜕化为一条直线，即电场矢量沿着一条固定的直线段随时间振荡。这条直线与轴的夹角为满足（3），这是（6）式化为这是一个正椭圆，其长短轴分别在和方向上。当，且时，（9）式便化为一个圆方程在这种情况下，当时间经历一个周期，电场矢量的尖端便在这原上描画一圈，如图所示。当时，电场矢量沿顺时针方向转动，如图a中所示，这种波称为右旋圆偏振（极化）波。当时，电场矢量沿逆时针方向转动，如图b中所示，这种波称为左旋圆偏振（极化）波。6.【P2773.10】试证明：（1）单色平面电磁波从一个介质进入另一个介质时频率不变；（2）在两种各项同性介质的交界面上同一点，交界面的法线、入射线、反射先和折射先都在同一平面内（这平面就是入射面）。【证】（1）设入射波、反射波和折射波的电场强度分别为入射波反射波折射波设为交界面法线方向上的单位矢量，从介质1指向介质2；和分别为介质1和2的电容率，则由边值关系得因故有以上三式得将（1）至（3）式代入上式便得式（8）右边是时间的两个指数函数值和，而右边却与无关；由于是独立变量，故要上式成立，右边也必须是与无关。唯一的可能就是这个结果表明：折射波的频率等于入射波的频率，即电磁波从一个介质进入另一个介质时频率不变。（2）将（9）式代入（8）式，得取笛卡尔坐标系，是交界面为平面，入射面为平面，如图所示。这时入射波的的分量为零，即。又因交界面上，故（10）式便化为这个等式在交界面上任何地方都应成立，在处也必定成立。故得这个等式要在为任何值时都成立，唯一的可能是这个结果表明：和都在入射面内。这就证明了交界面的法线（图中的轴）、入射线、反射线和折射线四者都在同一平面内。7.【P2783.11】如图所示，在的区域，充满了电容率为、磁导率为的介质，在区域内充满了电容率为、磁导率为的介质。有一沿轴正方向传播的单色平面电磁波，从区域正入射到这两介质的交界面（）上，已知入射波的电场为试证明：（1）这单色平面波的反射波和透射波的电场在处的振幅和与入射波电场振幅的比值分别为和式中（2）在区域内，电磁波的能流密度对时间的平均值等于区域内电磁波的能流密度对时间的平均值。【证】8.【P2833.13】9.【P2853.14】、10.【P2943.15】11.【P2943.17】12.【P2963.18】13.【P3023.21】14.【P3083.25】15.【P3273.34】16.【P3273.35】17.【P3293.36】18.【P3313.37】Chapter51. 在一半径为的小圆电流圈中馈入电流，已知，求此电流圈在远处的辐射场及能流、平均密度.答案：解：以电流圈中心为原点，轴线为轴建立球坐标系，线圈的磁矩则，辐射场和平均能流密度为辐射的总功率为2. 一偶极矩为的电偶极子与轴夹角为，以角频率绕轴旋转，试计算辐射场与平均能流密度.答案：解：将沿三个坐标方向分解写成复数形式为将、用球坐标表示于是辐射场3.（1）证明：如果和满足洛伦兹规范，则只要选择这样一个标量函数，使之满足，那么新的矢势和标势，仍然满足洛伦兹规范；（2）若已知自由空间的电磁波的矢势求电磁波的标势及电场强度.答案：（1）证明：设、是满足洛伦兹规范的磁势，满足作规范变化则将（1）代入，可以看出只要满足则，、也满足洛伦兹规范条件（2）由于自由空间电磁势满足其解为实数形式为，已知，比较得出根据洛伦兹条件得于是，电场强度取实数4.证明荷质比相同的不同带电粒子构成的体系不会产生偶极辐射.答案：解：设体系有个带点粒子，第个粒子的质量为，电荷为，总质量为，则电偶极矩在的非相对论清醒，应用质心运动定理，设质心的矢径为，即代入（1）式，得由于系统不受外力，则质心加速度，所以没有电偶极辐射.体系的磁偶极矩其中是体系的角动量，系统不受外力时，角动量守恒，因此故没有磁偶极辐射.【5】